Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2012-08-25T21:42:05+02:00

|x - 3| + 1 > 2x

 

I sposób - przekształcenie równoważnościowe nierówności

|x - 3| + 1 > 2x

|x - 3| > 2x - 1

x - 3 > 2x - 1  lub  x - 3 < - (2x - 1)

 

x - 3 > 2x - 1

x - 2x > - 1 + 3

- x > 2  /·(- 1)

x < - 2

czyli x ∈ (- ∞; - 2)

 

x - 3 < - (2x - 1)

x - 3 < - 2x + 1

x + 2x < 1 + 3

3x < 4  /: 3

x < ⁴/₃

x < 1⅓

czyli x ∈ (- ∞; 1⅓)

 

Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| + 1 > 2x jest równy sumie otrzymanych zbiorów:

x ∈ (- ∞; - 2) u (- ∞; 1⅓) = (- ∞; 1⅓), czyli x < 1⅓

 

Odp. x < 1⅓

 

 

II sposób -  z def. wartości bezwzględnej

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1° |x - 3| = x - 3 dla x - 3 ≥ 0, czyli dla x ≥ 3, zatem dla x ∈ <3; + ∞) i w tym przedziale nierówność ma postać:

x - 3 + 1 > 2x

x - 2 > 2x

x - 2x > 2

- x > 2   /·(- 1)

x < - 2, czyli x ∈ (- ∞; - 2)

Uwzględniając założenie, że x ∈ <3; + ∞) otrzymujemy:

x ∈ (- ∞; - 2) n <3; + ∞) = Ф

 

2° |x - 3| = - (x - 3) = - 3 + 3 dla x - 3 < 0, czyli dla x < 3, zatem dla x ∈ (- ∞; 3) i w tym przedziale nierówność ma postać:

- x + 3 + 1 > 2x

- x + 4 > 2x

- x - 2x > - 4

- 3x > - 4   /:(- 4)

x < ⁴/₃

x < 1⅓, czyli x ∈ (- ∞; 1⅓)

Uwzględniając założenie, że x ∈ (- ∞; 3) otrzymujemy:

x ∈ (- ∞; 1⅓) n (- ∞; 3) = (- ∞; 1⅓)

 

Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| + 1 > 2x jest równy sumie otrzymanych zbiorów, czyli x ∈ Ф u (- ∞; 1⅓) = (- ∞; 1⅓), czyli x < 1⅓

 

Odp. x < 1⅓