W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokośc ma długośc 3√3 cm, a krawędź podstawy ma długośc 12 cm. Oblicz:
a) długośc wysokości ściany bocznej ostrosłupa,
b) sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy,
c) długośc krawędzi bocznej ostrosłupa,
d) sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,
e) pole powierzchni całkowitej,
f) objętośc ostrosłupa.

1

Odpowiedzi

2009-11-12T00:12:04+01:00
A) rys 1 przedstawia podstawę ostrosłupa, zielona kropka to punkt padania wysokości na podstawę. Chcemy obliczyć x:
W trójkącie równobocznym wysokość ma wzór h=(a√2)/2, zatem
h=6√2
Wiemy, że środkowe w trójkącie równobocznym dzielą wysokość w stosunku 1:2, zatem krótszy odcinek (zaznaczony na rys) ma długość x=2√2.

rys 2 przedstawia trójkąt utworzony z wysokości całęgo ostrosłupa, naszego już znalezionego x i szukanej wysokości ściany bocznej h1.
Z tw. Pitagorasa (h1)²=(2√2)² + (3√3)²
h1=√35

b) Korzystamy znów z rys 2
sin a=(3√3)/h1
sin a=(3√3)/√35

c) rys 3 przedstawia ścianę boczną, znamy długość podstawy tego trójkąta, znamy też wysokość h1=√35. Z tw. Pitagorasa obliczymy y:
y²=(√35)²+6²
y=√71

d) z rys 4
sin b=(3√3)/(√71)

e) Pc=Pp+pb
Pp=(12²√2)/4=36√2
Pb=3* (12*h1)/2=3* (12√35)/2=18√35
Pc=36√2+18√35

f) V=Pp*H/3
V=36√2*3√3/3=36√6
1 5 1