Ile jest równa suma obwodów wszystkich prostokątów, których długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi, niewiększymi od 1000?

A. 1999998 B. 999998 C. 1001000 D. 998998

Bardzo proszę o obliczenia do tego zadania ;) Z góry dzięki ;*

1

Odpowiedzi

2009-11-12T19:04:15+01:00
Mamy ciąg liczb:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,1000

bierzemy po 2 kolejne liczby , będą to boki prostokąta
wiemy że obwód prostokąta wynosi 2*(a+b), więc każdą kolejną parę liczb zsumujemy i podwoimy

i tu jest problem bo:
a) bierzemy 1i2,2i3,3i4,4i6,...,999i1000
b) bierzemy 1i2,3i4,5i6,...,999i1000

najlepiej policze a i b
a)
dla 1 i 2 będzie to (1+2)*2=6
dla 2 i 3 będzie to (2+3)*2=10

tworzymy nowy ciąg arytmetyczny:
6,10,14,18,...,3998

wiemy że a₁=6
różnica ciągu r wynosi 4
ostatni wyraz ciągu an wynosi 3998
liczba elementów ciągu to 999
bo jeśli z podciągu 1,2,3,4,5 powstaje nam ciąg 6,10,14,18
więc ten ciąg będzie miał n-1 elementów

Suma=(a₁+an)*n/2=(6+3998)*999/2=1999998
czyli odpowiedź A

b)
dla 1 i 2 będzie to (1+2)*2=6
dla 3 i 4 będzie to (3+4)*2=14

tworzymy nowy ciąg arytmetyczny:
6,14,22,30,38,46,....,3998

wiemy że a₁=6
różnica ciągu r wynosi 8
ostatni wyraz ciągu an wynosi 3998
liczba elementów ciągu to 500
bo jeśli z podciągu 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 powstaje nam ciąg 6,14,22,30,46
więc ten ciąg będzie miał n/2 elementów

Suma=(a₁+an)*n/2=(6+3998)*500/2=1001000
czyli odpowiedź C

ja bym bardziej obstawiał wariant B