Wykaż, że nie istnieją kąty α i β, dla których zachodzą równości:
tgα+ctgα=1
tgβ+ctgβ=√2

Wskazówka:Gdyby istaniał taki kąt α,to zachodziłaby równość (tgα+ctgα)²=1


Na jutro. Pilne. Prosze o jakies logiczne wytłumaczenie.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-11-12T19:32:01+01:00
Zadanie wbrew pozorom nie takie trudne, jeżeli miałaś już równania kwadratowe. :)

Najpierw kąt α:

tgα + ctgα=1 - mamy wykazać, że takiego kąta α nie ma

Wiadomo, że ctgα=1÷tgα, więc podstawiając otrzymujemy:

tgα+1÷tgα=1 - sprowadzamy do wspólnego mianownika

(tg²α+1)÷tgα=1 - mnożymy obustronnie przez tgα
tg²α+1=tgα - teraz wszystko dajemy na lewą stronę
tg²α-tgα+1=0 - oto nasze równanie kwadratowe, wyliczmy deltę
____________________________
Dla przypomnienia:
ax²+bx+c=0
Δ=b²-4ac
_____________________________

W naszym przypadku delta wynosi:
Δ=1²-4×1×1=1-4=-3
Δ<0 - skoro delta jest mniejsza od zera, to równanie nie ma rozwiązań, więc nie istnieje taki tgα, a co za tym idzie taki kąt, który spełnia to równanie.


Przypadek z kątem β jest identyczny:
tgβ + ctgβ=1
tgβ+1÷tgβ=1
(tg²β+1)÷tgβ=√2
tg²β+1=(√2)tgβ
tg²β-(√2)tgβ+1=0
Δ=(√2)²-4×1×1=2-4=-2
Δ<0

Mam nadzieję, że napisałem zrozumiale. :)