W szkole liczącej 30 nauczycieli pracuje 18 kobiet. Wybieramy komitet organizacyjny składający się z 6 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w skład komitetu weszły:
a) same kobiety
b)sami mężczyźni
c) 3 kobiety i 3 mężczyzn
d) conajmniej 1 kobieta
e) co najwyżej 1 kobieta

1

Odpowiedzi

  • Roma
  • Community Manager
2013-07-23T15:22:59+02:00

Ω - wybór 6 osobowego komitetu organizacyjnego spośród 30 nauczycieli

 

\overline{\overline{\Omega}} = {30 \choose 6} = \frac{30!}{6! \cdot 24!} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} =25 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 29

 

a)

A - w składzie komitetu są same kobiety

 

\overline{\overline{A}} = {18 \choose 6} = \frac{18!}{6! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} =13 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 17

 

 

P(A) = \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} =\frac{13 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 17}{25 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 29} =\frac{4 \cdot 17}{25 \cdot 3 \cdot 29} =\frac{68}{2175}

 

b)

B - w składzie komitetu są sami mężczyźni

 

\overline{\overline{B}} = {12 \choose 6} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} =7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11

 

 

P(B) = \frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega}}} =\frac{7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11}{25 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 29} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 11}{25 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 29} =\frac{44}{28275}

 

c)

C - w składzie komitetu są 3 kobiety i 3 mężczyzn

 

 

\overline{\overline{C}} = {18 \choose 3} \cdot {12 \choose 3}= \frac{18!}{3! \cdot 15!} \cdot \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \\\\ =16 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 2

 

 

 

P(C) = \frac{\overline{\overline{C}}}{\overline{\overline{\Omega}}} =\frac{16 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 2}{25 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 29} =\frac{16 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 2}{5 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 29} =\frac{11968}{39585}

 

d)

D - w składzie komitetu jest co najmniej 1 kobieta

D' - w składzie komitetu nie ma kobiety, czyli w składzie są tylko mężczyźni

 

Zatem:

\overline{\overline{D'}} =\overline{\overline{B}}

 

P(D) = 1 - P(D') = 1 - P(B) =1- \frac{44}{28275} = \frac{28231}{28275}

 

e)

E - w składzie komitetu jest co najwyżej 1 kobieta

 

\overline{\overline{E}} ={12 \choose 6}+{18 \choose 1}\cdot{12 \choose 5} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} + 18 \cdot \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} + \\\\ + 18 \cdot \frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11+ 3 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 12 = \\\\ =924+14256 = 15180

 

P(E) = \frac{\overline{\overline{E}}}{\overline{\overline{\Omega}}} =\frac{15180}{25 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 29} =\frac{15180}{593775} =\frac{1012}{39585}