Platforma obrotowa o masie M=341kg wiruje w płaszczyźnie poziomej z częstotliwścią f=12 obrotów/min wokół osi przechodzącej przez jej środek. Na brzegu platformy stoi człowiek o masie m=75 kg. Z jaką częstotliwościa będzie obracać sie platforma jeśli człowiek przejdzie do jej środka?????. Platforma ma kształt dużego krążka( człowieka można uznać za masę skupioną w 1 punkcie). Prosze o rozwiązanie i wyjaśnienie że korzysta się np. z zasady zachowania pędu

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-11-18T00:06:38+01:00
Dane:
M = 341 kg
m = 75 kg
f = 12 1/min = 0,2 1/s = 0,2 Hz

szukane:
f' = ?

chodzi tu o zastosowanie zasady zachowania momentu pędu
w ruchu obrotowym bryły sztywnej moment pędu L (względem osi obrotu) jest wprost proporcjonalny do prędkości kątowej ω = 2*π*f, a stałą proporcjonalności jest moment bezwładności względem osi obrotu J:

L = J * ω = 2 * π * J * f

kiedy człowiek przechodzi do środka platformy, zmienia się J, a przez to - poniewaz L jest wielkością stałą (jest zachowane) - ω takze się zmieni

całkowite J = Jplatformy + Jczłowieka = Jp + Jcz
Jp się nie zmienia i jest równe
Jp = Jp' = 0,5 * M * r² (r jest promieniem platformy)
Jcz (na początku) = m * r² (człowiek stoi na brzegu, tj. w odległości r od osi obrotu lub inaczej od środka platformy)
Jcz' (na koniec) = m * 0 = 0 (bo teraz stoi dokładnie w środku platformy, a tam jego odległość od osi obrotu wynosi zero)

zatem:
J = 0,5 * M * r² + m * r² = (0,5*M + m) * r²
J' = 0,5 * M * r²

L = 2 * π * (0,5 * M + m) * r² * f
L' = 2 * π * 0,5 * M * r² * f'

L' = L, więc:
2 * π * 0,5 * M * r² * f' = 2 * π * (0,5 * M + m) * r² * f

podzielmy obie strony przez 2 * π * 0,5 * M * r²:

f' = f * (0,5 * M + m) / (0,5 * M)
f' = f * (1 + 2 m/M)
f' = 12 * (1 + 2 * 75/341) = 17,3 obrotów na minutę

częstotliwość wzrasta! (por. łyzwiarzy figurowych: kiedy w czasie obrotu wyciągną ręce - a więc zwiększą swój moment bezwładności - będą obracać się wolniej; kiedy przyciągną ręce do siebie - szybciej; mozna to łatwo (ale łatwiej kiedy wyciąga się nogi) zobaczyć samemu na obrotowym krześle - polecam ;))





9 4 9