Odpowiedzi

2009-05-12T18:33:58+02:00
Mamy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest dłuższa przekątna graniastosłupa, a przyprostokątnymi są wysokość graniastosłupa i dłuższa przekątna sześcioboku foremnego. Ponieważ kąt ostry w tym trójkącie ma miarę 45°, więc jest to trójkąt równoramienny, czyli połówka kwadratu o przekątnej 20√2. Zatem z twierdzenia Pitagorasa bok tego kwadratu ma długość 20. Zatem dłuższa przekątna sześcioboku ma długość 20 i wysokość graniastosłupa ma długość 20. Zauważmy, że sześciobok foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych i dłuższa przekątna ma długość równą dwóm bokom tych trójkątów. Zatem każdy z tych trójkątów ma bok długości 10. Krótsza przekątna sześcioboku, to dwie wysokości takich trójkątów. Zatem krótsza przekątna sześcioboku ma długość 10√3. Mamy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej krótszej przekątnej graniastosłupa i przyprostokątnych równych krótszej przekątnej sześcioboku i wysokości graniastosłupa. Zatem z twierdzenia Pitagorasa krótsza przekątna graniastosłupa x wynosi
x=√(20²+(10√3)²)=√700=10√7.
pozdrawiam!