Odpowiedzi

2009-11-21T17:41:52+01:00
Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np. 8 = 2^3 \neq 3^2 = 9. Nie jest także łączne, np. 2^{(3^2)} = 2^9 = 512, lecz {(2^3)}^2 = 8^2 = 64.

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

* a^{r+s} = a^r \cdot a^s,
* (a^r)^s = a^{r \cdot s}.

Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również

* (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r.

Jeżeli as jest elementem odwracalnym, to

* a^{r-s} = \frac{a^r}{a^s}.

Dla r = 0 powyższy wzór oznacza:

* a^{-s} = \frac{1}{a^s}.

Jeżeli tak b jak i br są odwracalne, to

* (\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}

Podstawa Wykładnik Potęga
całkowita dodatnia całkowity nieujemny całkowita dodatnia
całkowita całkowity nieujemny całkowita
wymierna dodatnia całkowity wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia[4]
algebraiczna wymierny algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1 zespolony, który nie jest liczbą wymierną przestępna[5]
przestępna wymierny różny od 0 przestępna
rzeczywista dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna rzeczywisty zespolona[6]
zespolona całkowity zespolona (jednoznaczna)
zespolona wymierny zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona zespolony nie będący liczbą wymierną zespolona (nieskończenie wiele wartości)