Proszę o rozwiązanie zadań z wyjaśnieniem; sprawdzian jutro, a ja nic nie wiem. :))

1. f(x) = (4x + 5)/(x+2)
/ - kreska ułamkowa, działania podałam w nawiasach aby było czytelniej.

a) Narysuj wykres funkcji.
należy najpierw do postaci: -3/(x+2) + 4 (czwórka już poza ułamkiem), prosiłabym właśnie o doprowadzenie do tej postaci. Oczywiście jeżeli ktoś chce może rysować. :>
b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości
c) Napisz równania asymptod
d) Podaj punkty przecięcia wykresu w osiami układu współrzędnych
e) Określ monotoniczność
f) Dla jakich argumentów wartość funkcji wynosi 1?
g) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 1?

2. Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od "m".
(rysunek w załączniku, mam nadzieję, że czytelny :))

Ma to wyglądać tak:
a) 0 rozwiązań, gdy m...
b) 1 rozwiązanie, gdy m...
c) 2 rozwiązania, gdy m...

3. Sprawdź czy funkcje g i f są równe:
f(x) = (x² - 1)/[x²(x-1)]
g(x) = (x+1)/x²

4.Dla jakich wartości k dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste:
f(x) = (2x² - 4x + 1)/(-x² + 3x - 4k)

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-11-24T22:03:31+01:00
ZALECAM przepisanie wszystkiego do zeszytu. W postaci .txt jest to dość nieczytelne, jednak po narysowaniu sobie ładnych ułamków powinno być już jasne ;-)

Dane:
f(x) = (4x+5)/(x+2)
Szukane:
W treści
Rozwiązanie:
1.a - w załączniku rysunek

f(x) = (4x+5)/(x+2)
f(x) = (4x+8-3)/(x+2) || 5 = 8-3 - do wykorzystania dalej
f(x) = [4(x+2)-3]/(x+2) || grupujemy 4x+8, aby skrócić z(x+2)
f(x) = 4 - 3/(x+2) || -3 pozostaje z mianownikiem(x+2)

RYSUNEK:
Funkcja do rysunku:
f(x) = -3/x --[-2,4]--> f(x) = -3/(x+2) + 4 || [-2,4] to wektor, o który trzeba przesunąć funkcję -3/x, aby otrzymać nasze f(x), nazwany "u"
lub odwrotnie
f(x) = -3/(x+2) + 4 --[2;-4]--> f(x) = -3/x || [2,-4] to wektor, o który trzeba przesunąć naszą f(x), aby uprościć ją do -3/x, nazwany "-u"

Objaśnienie do rysunku: Moja metoda na rysownie takich wykresów jest następująca i wymaga umiejętności przesuwania funkcji o wektor.:
I Rysuję "kreskowany" układ współrzędnych. Na nim rysuję wykres uproszczonej do granicy możliwości funkcji.
II. Odwracam wektor przemieszczenia u = [-2,4] [do którego doprowadziłem funkcję stosując wzór:
f(x) --[a,b]--> f(x-a) + b (to "[a,b]" rysuje się NAD strzałką)]
do postaci -u = [-a, -b], w tym wypadku [2,-4] rysuję taki wektor. Na jego zakończeniu zaznaczamy punkt 0 nowego układu współrzędnych
III. Ten układ współrzędnych rysujemy grubą linią. To on zobrazuje funkcję w pełnym wymiarze. Poprzedni, kreskowany pozostawiamy jako asymptoty.

1.b
Df = {x; x∈R ∧ x+2≠0} || W funkcji x jest w mianowniku a nie wolno dzielić przez 0
Df = R\{-2}
Pf (powinno się pisać odwrotne D ale nie ma takiego symbolu na klawiaturze)
Pf = R\{4} (na wykresie widać, że funkcja nigdy nie osiągnie wartości 4)

c) z wykresu:
X = -2
Y = 4

d) 0 = (4x+5)/(x+2) || miejsce zerowe łatwiej obliczać na "pełnowartościowej" funkcji, znanej nam z początku zadania, przed transformacjami

Funkcja będzie równa zero, gdy jej mianownik będzie równy 0
4x+5 = 0
x = 5/4

e) f(x) rosnąca <=> x∈ Df || Czyli dla x∈R\{-2}

f) f(x) = 1 <=> (4x+5)/(x+2) = 1
4x+5 = x+2
3x = -3
x = -1

g) f(x) > 1 <=> x∈(-∞,-2) U (-1,+∞) || z wykresu widać

2. f(x) = m ma:
0 rozwiązań dla m = 4
1 rozwiązanie dla m∈R\{4}

3. To zwłaszcza radzę przepisać ;-)
f(x) = (x²-1)/[x²(x-1)]
g(x) = (x+1)/x²

f(x) = (x²-1)/[x²(x-1)]
f(x) = (x+1)×(x-1) / [x²(x-1)] || zastosowałem wzór skróconego mnożenia: (a-b)×(a+b) = a² - b². W efekcie skrócą się (x-1) z ułamka i zostaje:
f(x) = (x+1)/x² = g(x)

Mam nadzieję, że wytłumaczyłem to w miarę czytelnie i nie popełniłem błędów. W razie pytań PM ;-)