1. Wyznacz wzor na wyraz ogolny ciagu arytmetycznego, w ktorym wyraz czwarty wtnosi -3, a wyraz dziewiaty wynosi 17. Oblicz sume dwudziestu pieciu poczatkowych wyrazow tego ciagu.

2. Narysuj wykres ciagu a(n)=n² + 2n i zbadaj jego monotonicznosc.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-11-25T14:04:47+01:00
Z.1
a4 = -3
a9 = 17
-----------------
Oblicz S25
a4 = a1 + 3r
a9 = a1 + 8r
a9 - a4 =( a1+8r )- (a1 +3r) = 5r
Podstawiamy za a4 liczbę -3, a za a9 liczbę 17
5r =17 - (-3) = 17 +3 = 20
r = 20 :5 = 4
a4 = a1 +3r ----->
a1 = a4 - 3r = -3 - 3*4 = -3 -12 = -15
Mamy zatem ciąg arytmetyczny
a1 = -15
r = 4
an = a1 +(n -1 )*r = -15 + (n -1) *4 = -15 +4n -4 = =4n - 19
Wyraz ogólny tego ciągu obliczamy ze wzoru
an = 4n - 19
S25 = a1 +a2 + a3 + ... + a24 + a25
Korzystamy ze wzoru na Sn
Sn =0,5* [a1 + an] *n
a1 = -15,
a25 = 4*25 - 19 = 100 - 19 = 81
n = 25
S25 = 0,5*[-15 + 81]*25 = 0,5*66* 25 = 33*25 = 825
z.2
an = n² + 2n

n =1 , a1 = 1 + 2*1 = 3
n=2, a2 = 2² +2*2 = 4 + 4 = 8
n =3, a3 = 3² + 2*3 = 9 + 6 = 15 , itd.
Wykres będzie się składał z izolowanych punktów
o współrzędnych (n ; an), czyli, np.
(1;3), (2;8), (3;15(, itd.

Monotoniczność

Obliczmy różnicę an+1 - an
an+1 - an =[ (n+1)² +2(n+1)] - [ n² +2n] =
= [n²+2n + 1 +2n +2] - [n² + 2n ] = 2n + 3 > 0 dla dowolnej
liczby naturalnej n.
Jest to zatem ciąg rosnący.