1.W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy 12,a suma pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 3.Oblicz jedynasty wyraz tego ciągu i sumę jedynastu początkowych wyrazów tego ciągu.
2.W ciągu arytmetycznym drugi wyraz jest równy 12,a piąty wynosi 30.Oblicz siódmy wyraz tego ciągu i sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.Ile wyrazów tego ciągu należy wziąśc,aby suma przekroczyła 1000?

1

Odpowiedzi

2009-11-27T07:53:06+01:00
1)
a₁ + a₂ = 3
a₅ = 12
a₂ = a₁ + r
a₁ + a₁ + r = 3
2a₁ + r = 3
r = 3 - 2a₁
a₅ = a₁ + 4r
12 = a₁ + 4(3 - 2a₁)
12 = a₁ + 12 - 8a₁
0 = -7a₁
a₁ = 0
stąd r = 3
obliczamy a₁₁
a₁₁ = a₁ + 10r
a₁₁ = 0 + 10*3
a₁₁ = 30
S₁₁ = 11(a₁ + a₁₁)/2
S₁₁ = 11*30/2
S₁₁ = 165

2)
a₂ = 12
a₅ = 30
a₂ = a₁ + r
a₅ = a₁ + 4r
I)12 = a₁ + r
II)30 = a₁ + 4r
odejmując stronami II) - I) otrzymujemy
18 = 3r /:3
r = 6
z I) wyliczamy a₁
a₁ = 12 - r
a₁ = 12 - 6
a₁ = 6
Obliczamy a₇
a₇ = a₁ + 6r
a₇ = 6 + 6*6
a₇ = 42
S₇ = 7(a₁ + a₇)/2
S₇ = 7(6+42)/2
S₇ = 7*24
S₇ = 168

Sn>1000
Sn = n(a₁ + an)/2
Sn = n(a₁ + a₁ + (n - 1)r)/2
Sn = n(2*6 + 6(n-1))/2
Sn = n(6 + 3(n-1))
Sn = n(6 + 3n - 3)
Sn = n(3n + 3)
n(3n + 3) > 1000
3n² + 3n - 1000 > 0
Rozwiązujemy nierówność obliczając najpierw miejsca zerowe funkcji f(n) = 3n² + 3n - 1000
Δ = 9 + 12000
Δ = 12009
√Δ = √12009
109 < √12009 <110
n₁ = (-3 - √12009)/6
n₂ = (-3 + √12009)/6
17,66 < n₂ < 17,83
Z własności funkcji kwadratowej otrzymujemy, że dla n<n₁ lub n>n₂ przyjmuje ona wartości dodatnie. Biorąc pod uwagę, że n jest liczbą naturalną otrzymujemy rozwiązanie n≥18
Odp. Dla n≥18 Sn>1000
Proszę sprawdzić obliczenia przy szukaniu n, bo nie jestem pewna czy gdzieś się nie pomyliłam ;)