Napisz wzór funkcji liniowej o której wiadomo że:
a) jej wykres jest nachylony do osi x pod kątem 60 stopni oraz jej miejscem zerowym jest liczba 2 pierwiastki z 3
b) rzędna punktu przecięcia jej wykresu z osią y jest równa 4 a odcięta punktu przecięcia z osią x jest równa 2
c) jej wykres jest równoległy do prostej y= -4x +6 i przechodzi przez punkt P(-1,7)
d) do jej wykresu należą punkty A (-5, pierwiastek z 5) B( minus pierwiastek z 5,5 )
e) funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne a dla argumentu pi przyjmuje wartość -4

2

Odpowiedzi

2009-11-28T18:17:15+01:00
A)
y=ax+b
a=tgα α=60⁰
a=tg 60⁰
a=√3
wiemy że miejscem zerowym jest (2√3,0), stąd:
0 = √3 × 2√3 + b
0 = 6 +b
b = -6
y = √3x - 6

b)
y = ax + b
podstawiamy za x i y współrzędne punktu A=(0,4) oraz B=(2,0)
0 = 2a + b
4 = 0a + b
rozwiązujemy taki układ równań i otrzymujemy:
b = 4
a = -2
y = -2x + 4
c)
skoro wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = -4x + 6, to a =-4. Mamy tylko obliczyć b, czyli podstawiamy współrzędne punktu P=(-1,7):
7 = (-4)×(-1) +b
7 = 4 + b
b = 3
y = -4x + 3
d)
A=(-5,√5) B=(-√5,5)
współrzędne tych punktów podstawiamy za x i y we wzorze:
y = ax + b
√5 = -5a +b
5 = -√5a + b
rozwiązujemy układ równań i otrzymujemy:
a = (√5 - 3)/2
b = (7√5 + 15)/2
i podstawiamy do wzoru:
y = [(√5 - 3)/2]x + (7√5 + 15)/2
1 5 1
2009-11-28T19:46:30+01:00
A) Patrz rysunek 1 ---> Korzystamy ze specyficznej własności trójkątów prostokątnych o kątach 60 i 30 stopni, do obliczenia miejsca przecięcia się funkcji z osią 0Y. Z ów własności wynika, że odcinek oznaczony na rysunku kolorem czerwonym ma długość "x" równą "2√3", a odcinek oznaczony na rysunku kolorem zielonym, długość "y", która równą "x√3".

x = 2√3
y = x√3 = 2√3 * √3 = 2 * 3 = 6
y = 6

Ok, wiemy już, że funkcja przecina oś OY w punkcie B o współrzędnych B (0;6) oraz oś OX w punkcie A (2√3;0). Znamy więc dwa punkty przez które przechodzi nasza funkcja. Pozostało nam stworzyć układ równań, podstawiając w miejsca x-ów i y-ów obliczone i znane wartości.

Wzór funkcji liniowej, to y=ax+b

Podstawiamy dane dla punktu A:
0 = a * 2√3 + b
Następnie podstawiamy dane dla punktu B:
6 = a * 0 +b

Nasz układ równań przyjmuje więc postać (powinno być w klamerce, ale z przyczyn technicznych tego nie zrobię):
0 = a * 2√3 + b
6 = a * 0 + b

0 = 2a√3 + b
6 = 0 + b

0 = 2a√3 + b
6 = b

0 = 2a√3 + 6|-6
6 = b

"|" <-- ten znak oznacza, że wykonujemy takie same działanie po obydwu stronach równaniach. W naszym przypadku odejmujemy 6, zarówno od o jak i od 2a√3 + 6.

-6 = 2a√3|*√3
6 = b

-6√3 = 6a|/6
6 = b

-√3 = a
6 = b

Tak więc wzór naszej funkcji wynosi:
y=(-√3)x + 6

b) Tutaj wystarczy wiedzieć, że rzędna to oś 0Y a odcięta to oś 0X. Rozwiązujemy analogicznie, jak poprzednie zadanie.

Nasz punkt A przyjmie współrzędne (2;0)
A punkt B przyjmie współrzędne (4;0)

y=ax+b

0 = 2a + b
4 = 0 * a +b

0 = 2a + b
4 = b

0 = 2a + 4|-4
4 = b

-4=2a
4 = b

-2 = a
4 = b

Tak więc wzór naszej funkcji wynosi:
y = (-2)x + 4

c) Proste są równoległe gdy mają identyczne liczby przy "x" (ta liczba przy x, to nic innego niż nasze "a" ze wzoru y=ax+b). W naszym przypadku funkcja "y = (-4)x +6" ma przy "x" liczbę "-4". Tak więc nasza funkcja równoległa musi mieć wzór y=(-4)x + b. Pozostaje nam obliczyć ile wynosi to "b". Żeby to zrobić korzystamy z tego, że wiemy przez jaki punkt przechodzi ta funkcja.

7 = (-1)*(-4)+ b
7 = 4 +b|-4
3=b

Wzór naszej funkcji wynosi:
y = (-4)x + 3

d) To zadanie rozwiązujemy podobnie jak podpunkt b, z tym, że nasze punkty nie leżą na osiach.

Mamy dane:
A (-5;√5)
B (-√5;5)

Podstawiamy wartości "x" i "y".
Dla punktu A:
√5 = (-5a) + b
Dla punktu B:
5 = (-√5a) + b

Otrzymujemy więc układ równań:
√5 = (-5a) + b|+5a
5 = (-√5a) + b

√5 + 5a = b
5 = (-√5a) + √5 + 5a|²

√5 + 5a = b
25 = 5a² + 5 + 25a²|-5

√5 + 5a = b
20 = 30a²|/30

√5 + 5a = b
2/3 = a²

√5 + 5a = b
√2/√3 = a <---- Pierwiastek z dwóch trzecich.

√5 + 5(√2/√3) = b
√2/√3 = a

Wzór naszej funkcji wynosi:
y = (√2/√3)x + √5 + 5(√2/√3)

Nie wygląda za ładnie, więc możliwe, ze gdzieś w obliczeniach popełniłem błąd, ale nie mogę go teraz znaleźć.

e) Patrz rysunek 2 -->Ta funkcja nie może się wznosić ani opadać, gdyż wtedy od jakiegoś tam punktu przyjmowałaby wartości (igreki) dodatnie. Skoro nie może się wznosić ani opadać, musi być równoległa do osi OX. A skoro ma przyjmować tylko wartości ujemne, to musi znajdować się gdzieś pod nią. Wiemy z poprzedniego zadania, że aby funkcja była równoległa do jakiejś innej funkcji, przy jej "x" musi stać ta sama liczba, co przy funkcji równoległej. Funkcją równoległą jest oś OX, dla której "a" (czyli liczba która stoi przy "x") wynosi 0.

Nasza funkcja ma więc postać:
y = 0 * x +b
y = b

Wiemy, że przechodzi przez punkt A (π;-4). Podstawmy więc te współrzędne pod wzór naszej funkcji:

-4 = 0 * π +b
-4 = b

Wzorem naszej funkcji, jest wiec:
y = (-4)
1 5 1