Czesc... mam pytanie czy może ktoś jasno wytłumaczyć jak się rozwiązuje taki układ równań[za pomocą Twierdzenia Kroneckera-Capellego]

Zadanie brzmi tak:
Ile układ równań ma rozwiązań?

2x₁+x₂+x₃-x₄=3
x₁+x₂-x₃+x₄=2

dzieki z góry

1

Odpowiedzi

2009-11-28T20:55:46+01:00
1. Zapisujesz to równanie w formie macierzowej:

[2 1 1 -1]
[1 1 -1 1] * [x1;x2;x3;x4] = [3;2]
Pierwsza macierz to macierz 2 x 4, druga i trzecia to wektory kolumnowe.


Tw. Kronnekera - Capelliego:
Dany jest układ m równań z n niewiadomych ma rozwiązania jeżeli rA = rD = r

Jeżeli r < n, to układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
Jeżeli r = n, to ma układ ma jedno rozwiązanie.
Jeżeli rA < rD, to układ jest sprzeczny.

rA, to macierz pierwsza, natomiast rD, to macierz dopełniona, tylko do macierzy A dostawiasz wektor z wynikami, czyli w naszym przypadku:
[2 1 1 -1 | 3]
[1 1 -1 1 | 2]

Teraz szukamy wyznaczników. Maksymalny wyznacznik jaki tu można znaleźć, to 2x2, czyli rzędu drugiego (3x3, to rzędu trzeciego, 4x4 to rząd 4). Jak widać, n = 4, więc pakujemy się w pierwszy przypadek:

Jeżeli r < n, to układ nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)

I to jest właśnei rozwiązanie.
1 5 1