W trojkat rownoboczny wpisano okrag a w ten okrag wpisano kolejny trojkat rownoboczny a w ten trojkat znowu wpisano okrag .Ile razy promien mniejszego okregu jest mniejszy od promienia wiekszego okregu ? CZekam na madra odpowiedz poparta obliczeniami ]

1

Odpowiedzi

2009-11-29T09:22:54+01:00
Niech a₁ będzie długością boku trójkąta równobocznego. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość:
r₁ = ⅓h₁ gdzie h jest wysokością trójkąta równobocznego.
h obliczamy ze wzoru:
h = (a√3)/2 i wstawiamy do wzoru na promień okręgu wpisanego:
r₁ = ⅓(a₁√3)/2
r₁ = ⅙a₁√3
Teraz wpisujemy trójkąt równoboczny w okrąg o promieniu r₁. Zatem nasz okrąg o promieniu r₁ będzie okręgiem opisanym dla nowego trójkąta równobocznego o boku a₂. Wzór na promień okręgu opisanego:
R = ⅔h
tu R = r₁, a h = h₂ - wysokość mniejszego z trójkątów, tego o boku a₂.
Zatem otrzymujemy:
⅙a₁√3 = ⅔(a₂√3)/2 /*3, :√3
½a₁ = a₂
Liczymy promień okręgu wpisanego w mniejszy trójkąt (ten o boku a₂):
r₂ = ⅙a₂√3
ponieważ a₂ = ½a₁
Stąd
r₂ = ⅙*½a₁√3
r₂ = ½r₁
Stąd widać, że promień mniejszego okręgu jest dwa razy mniejszy od promienia większego okręgu.
6 5 6