Podstawa ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma pole równe 9 pierwiastek z 3 cm3. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 30 stopni. Oblicz długość krawędzi bocznej i wysokość ostrosłupa (proszę pisać rozwiązania na poziomie klasy 2 gimnazjum)

3

Odpowiedzi

2009-05-26T19:30:45+02:00
Podstawą jest trójkąt równoboczny, jego wzór na pole to a²√3 / 4
gdzie a krawędź podstawy.
a²√3 / 4=9√3
a²=36=6

krawędź boczna rzutuje na 2/3 wysokości podstawy (h=a√3/2)
więc ten odcinek jest równy 2/3 * a√3/2 =2√3
Z właściwości trójkąta prostokątnego (30*, 60*, 90*) wiemy, że krawędź boczna jest równa 2√3/√3 *2 = 4
natomiast wysokość ostrosłupa: 2√3/√3=2
2009-05-26T19:40:21+02:00
Pp=9√3cm³
α=30°

Pp=½*a*h
h=½a√3

Pp=½*a*½a√3
Pp=¼a²√3

9√3=¼a²√3
9=¼a²
a²=36
a=6cm

h=½*6²√3=18√3cm

β=60°

⅔h=½b

b=1⅓h
b=1⅓*18√3=24√3cm

H²=b²-(⅔h)²
H²=24√3²-(⅔*18√3)²=576*3-144*3=1728-432=1296
H=√1296=36cm

Długość krawędzi bocznej wynosi 24√3cm, a wysokość - 36cm.
2009-05-26T19:47:25+02:00
Pp(pole podstawy)= a²√3 /4
Pp=9√3
stąd równanie: 9√3=a²√3/4
36√3=a²√3
a²=36
a= 6 <---- krawędź podstawy
h=2√3
b=4√3 <-----krawędź boczna

odp. Wysokość wynosi 2√3 a krawędź boczna 4√3.