W trójkącie ABC dwusieczne kątów wewnętrznych przecinają się w punkcie M. Przez punkt M poprowadzono proste równoległe do prostych zawierających odcinki AB i AC, które przecinają bok BC w punktach D i E. Udowodnij, że obwód trójkąta MDE jest równy długości odcinka BC.

1

Odpowiedzi

2009-05-29T19:35:27+02:00
Z punktu E poprowadź prostopadłą do boku AC, punkt przecięcia nazwij F.
Z punktu M poprowadź prostopadłą do boku BC, punkt przecięcia nazwij G.
Z punktu D poprowadź prostopadłą do boku AB, punkt przecięcia nazwij H.
M jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Stąd widać że |EF|=|MG|=|DH|=r.
Teraz łatwo wykazać że trójkąty EFC i MGE są przystające, a stąd |CE|=|ME| oraz że trójkąty MGD i DHB są przystające, a stąd |MD|=|DB|.
Jeśli potrzebne bardziej szczegółowe wyjaśnienia to pytaj.