Kąty trójkąta mają miary 60 stopni, 45 stopni i 75 stopni, a najkrótszy bok ma długość 6 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

WSKAZÓWKA: Najkrótszy bok trójkąta leży zawsze naprzeciwko kąta o najmniejszej mierze.

Proszę o szybką odpowiedź.
Pozdrawiam :)

1

Odpowiedzi

2009-11-30T19:39:20+01:00
Narysuj sobie trójkąt ABC. Niech długość boku AC będzie 6 cm.
Wtedy kąt ABC będzie miał miarę 45°. Niech kąt CAB = 60°. Rysujesz wysokość z wierzchołka C do boku AB (oznacz wysokość CD). Wysokość ta dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąt ADC jest trójkątem o kątach 30°,60° i 90° . Trójkąt ten ma pewne własności: jeśli przyprostokątna leżąca przy kącie 60° ma długość a, to przeciwprostokątna ma długość 2a a druga przyprostokątna ma długość a√3.
U nas /AC/ = 2a, stąd /AD/ = a i /CD/ = a√3
/AC/ = 6
2a = 6 /:2
a = 3
Stąd:
/AD/ = 3
/CD/ = 3√3
Teraz rozpatrzmy trójkąt BDC. Jest to trójkąt prostokątny równoramienny (kąt ABC = DBC = 45°, zatem kąt DCB = 45°).
Czyli /DB/ = /CD/ = 3√3
/AB/ = /AD/ + /DB/
/AB/ = 3 + 3√3
/AB/ = 3(1 + √3)
P = ½ * /AB/*/CD/
P = ½*3(1 + √3)*3√3
P = (9/2)*(3 + √3)
Odp. Pole trójkąta wynosi P = (9/2)*(3 + √3)cm² ≈ 21,29 cm²
15 4 15