Odpowiedzi

2009-12-03T23:03:52+01:00
Zgodnie ze schematem dowodów indukcyjnych:
Początek indukcji: Formułujemy zdanie T(k) i udowadniamy, że jest prawdziwe.
W naszym przypadku teza T(n) brzmi: "dla każdego n≥3 liczba przekątnych n-kąta wypukłego jest równa (n(n-3))/2.
Sprawdzamy, że teza zachodzi dla n=3, wówczas otrzymujemy, że liczba przekątnych jest równa 0 i jest to rzeczywiście liczba przekątnych w trójkącie.
Krok indukcyjny, w którym udowadniamy, że dla każdego n≥k zachodzi implikacja:
Jeśli T(n), to T(n+1)
W naszym przypadku:
Zakładamy, że n≥3 i założenie indukcyjne T(n) jest prawdziwe; udowodnimy prawdziwość tezy dla n=n+1.
Rozważmy (n+1)-kąt wypukły Wn₊₁ o wierzchołkach A₁,...,An₊₁. Wówczas A₁,...,An są wierzchołkami n-kąta wypukłego Wn, który z założenia indukcyjnego ma n(n-3)/2 przekątnych.
Przekątne Wn₊₁ to dokładnie przekątne Wn i dodatkowo n-2 przekątnych łączących An₊₁ z wierzchołkami A₂,A₃,...,An₋₁ oraz przekątna A₁An (patrz załącznik).
Łącznie liczba przekątnych wielokąta Wn₊₁ wynosi:
(n(n-3))/2+(n-1)=½(n(n-3)+2(n-1))=½(n+1)(n-2)=T(n+1)
co należało dowieść