Suma dlugosci wszystkich krawędzi graniastoslupa prawidlowego trojkatnego jest rowna 42 cm. a pole powierzchni bocznej wynosi 72cm2.Graniastoslup przecieto plaszczyzna przechodzaca przez krawedź podstawy oraz srodek przeciwleglej krawędzi bocznej i jako przekrój otrzymano trojkat rownoramienny . Oblicz cosinusy katow tego trojkata.(rozpatrz dwie mozliwosci)

1

Odpowiedzi

2009-12-01T09:28:46+01:00
Niech a - krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego (podstawa to trójkąt równoboczny), b - krawędź boczna graniastosłupa.
6a + 3b = 42 /:3
3ab = 72 /:3

2a + b =14
ab = 24

b = 14 - 2a
a(14 - 2a) = 24
14a - 2a² = 24 /:(-2)
-7a + a² = -12
a² - 7a + 12 = 0
Δ = (-7)² - 4*1*12
Δ = 49 - 48
Δ = 1
√Δ = 1
a₁ = (7 - 1)/2
a₁ = 3 → b₁ = 14 - 6 b₁ = 8
a₂ = (7 + 1)/2
a₂ = 4 → b₂ = 14 - 8 b₂ = 6
Jeśli połączymy końce jednej podstawy ze środkiem przeciwległej krawędzi bocznej otrzymamy trójkąt równoramienny o podstawie długości a i ramionach długości x. Z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
x² = a² + (½b)²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 5
Kiedy a = 4 a b = 6, x = 5 również.
Niech α będzie kątem przyległym do a.
cosα = (½a)/x
cosα = (3/2)/5 lub cosα = (½*4)/5
cosα = 0,3 lub cosα = ⅖
Niech β będzie kątem zawartym między ramionami trójkąta równoramiennego będącego powstałym przekrojem.
β = 180° - 2α
cosβ = cos(180° - 2α) = - cos2α = -(2cos²α - 1) = 1 - 2cos²α
cosβ = 1 - 2*(0,3)² lub cosβ = 1 - 2*(⅖)²
cosβ = 1 - 0,18 lub cosβ = 1 - (8/25)
cosβ = 0,82 lub cosβ = 17/25 = 0,68
1 5 1