10. Dla jakiej wartości parametru m liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w ?
a) w(x) = -3x³ + 2x² + mx - 3, a= -1
b) w(x) = x³ + (2m - 1)x² - 3x + 7, a = 2
c) w(x) = -x³ + mx² - mx + 5, a = 3
d) w(x) = x³ + 3x² + (m² - 2m)x + 2, a = -2

11. Rozłóż wielomian w na czynniki i podaj jego pierwiastki.
a) w(x) = 5x² - 10x³ + 5x
b) w(x) = -3x⁵ + 30x³ - 75x
c) w(x) = 32x⁶ - 16x⁴ + 2x²
d) w(x) = 125x³ - 27
e) w(x) = 8x⁴ + 27x
f) w(x) = -14x³ + 7x

9. Rozwiąż równanie. Ile pierwiastków tego równania należy do przedziału (-½ ; 1½) ?
a) x³ - 2x² + x - 2 = 0
b) x³ + 5x² - x -5 = 0
c) 2x³ + x² -8x - 4 = 0
d) x³ - x² - 9x + 9 = 0
e) 81x³ - 9x² - 9x +1 = 0
f) x⁴ + x³ - 8x - 8 = 0
g) 8x⁴ + x³ + 64x + 8 = 0
h) 4x⁵ - x³ - 4x² +1 = 0



1

Odpowiedzi

2009-12-04T15:10:32+01:00
10. Dla jakiej wartości parametru m liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w ?
a) w(x) = -3x³ + 2x² + mx - 3, a= -1
W(a)=W(-1)= -3*(-1)³ +2*(-1)² -m-3=0
-3*(-1)+2-m-3=0
3+2-3-m=0
-m=-2
m=2

b) w(x) = x³ + (2m - 1)x² - 3x + 7, a = 2
W(a)=W(2)=2³+2²(2m-1)-3*2+7=0
8+4(2m-1)-6+7=0
8m-4+9=0
8m+5=0
8m=-5 /:8
m=-⁵/₈

c) w(x) = -x³ + mx² - mx + 5, a = 3
W(a)=W(3)=-(3)³+ m*3² - 3m +5=0
-27+9m-3m+5=0
6m=22 /:6
m=²²/₆
m=¹¹/₃

d) w(x) = x³ + 3x² + (m² - 2m)x + 2, a = -2
W(a)=W(-2)=(-2)³ + 3*(-2)² +(-2) *(m² - 2m) + 2=0
-8+ 3 *4 -2m²+4m+2=0
-8+12-2m²+4m+2=0
-2m²+4m+6=0 /:(-2)
m²-2m-3=0
Δm=4-4*(-3)=4+12=16
√Δm=4
m₁=(2-4)/2=-2/2=-1
m₂=(2+4)/2=6/2=3

11. Rozłóż wielomian w na czynniki i podaj jego pierwiastki.
a) w(x) = 5x² - 10x³ + 5x= 5x(-2x² + x+1)=5x(x-1)(x+½)

Δ=1-4*(-2)=1+8=9
√Δ=3
x₁ =(-1-3)/(-4)=(-4)/(-4)=1
x² =(-1+3)/(-4)=2/(-4)=-½

5x=0 /:5
x³ =0

b) w(x) = -3x⁵ + 30x³ - 75x= -3x(x⁴ -10x² +25)=
=-3x(x-√5)(x-√5 )(x+√5 )(x+√5 )
niech x²=t dla t≥0
(x⁴ -10x² +25)=0
t²-10t+25=0
Δt=100-4*25=100-100=0
t=10/2=5
x²=t
x²=5
x₁ =√5
x₂ =√5
x₃ =-√5
x₄ =-√5

-3x=0 /:(-3)
x₅ =0

c) w(x) = 32x⁶ - 16x⁴ + 2x²=2x²(16x⁴-8x²+1)=
=2x²(x-½)(x-½)(x+½)(x+½)

niech x²=t dla t≥0
(16x⁴-8x²+1)=0
(16t²-8t+1)=0
Δt=64-4*16=64-64=0
t=8/32 = ¹/₄
x²=t
x²=¼
x₁=½
x₂=½
x₃=-½
x₄=-½

2x²=0 /:2
x²=0
x₅=0
x₆=0


d) w(x) = 125x³ - 27=(5x-3)(25x² +15x+9)

5x-3=0
5x=3 /:5
x=³/₅

(25x² +15x+9)=0
Δ=225-4*25*9=225-900<0 -brak rozw.

e) w(x) = 8x⁴ + 27x=x(8x³ +27)=x(2x+3)(4x² -6x+9)
x₁=0
2x+3=0
2x=-3 /:2
x₂=-³/₂

(4x² -6x+9)=0
Δ=36-4*4*9<0 -brak rozwiązania

f) w(x) = -14x³ + 7x=-7x(2x² -1)=-7x(x-√2/ 2)(x+√2/ 2)

(2x² -1)=0
2x²=1 /:2
x₁ =√2/ 2
x₂ =-√2/ 2

-7x=0 /:(-7)
x₃=0

9. Rozwiąż równanie. Ile pierwiastków tego równania należy do przedziału (-½ ; 1½) ?
a) x³ - 2x² + x - 2 = 0
x²(x-2) +(x-2)=0
(x-2)(x²+1)=0
x-2=0
x=2
Żaden pierwiastek nie należy do przedziału

b) x³ + 5x² - x -5 = 0
x²(x+5)-(x+5)=0
(x+5)(x²-1)=0
x+5=0
x₁ =-5

x²-1=0
x²=1
x₂ =1 -tylko ten pierwiastek należy do przedziału
x₃ =-1

c) 2x³ + x² -8x - 4 = 0
x²(2x+1)-4(2x+1)=0
(2x+1)(x²-4)=0
2x+1=0
2x=-1 /:2
x₁ = -½

x²-4=0
x²=4
x₂ =-2
x₃ =2
Żaden pierwiastek nie należy do przedziału.

d) x³ - x² - 9x + 9 = 0
x²(x-1)-9(x-1)=0
(x-1)(x²-9)=0
x-1=0
x₁ =1 -tylko ten pierwiastek należy do przedziału

x²-9=0
x²=9
x₂ =-3
x₃ =3


e) 81x³ - 9x² - 9x +1 = 0
9x²(9x-1)-(9x-1)=0
(9x-1)(9x²-1)=0
9x-1=0
9x=1 /:9
x₁ =¹/₉

9x²-1=0
9x²=1 /:9
x²=¹/₉
x₂=¹/₃
x₃=-¹/₃
Wszystkie 3 pierwiastki należą do przedziału.

f) x⁴ + x³ - 8x - 8 = 0
x³(x+1)-8(x+1)=0
(x+1)(x³-8)=0
x+1=0
x₁=-1

x³-8=0
x³=8
x₂=2
x₃=2
x₄=2
Żaden pierwiastek nie należy doprzedziału.

g) 8x⁴ + x³ + 64x + 8 = 0
x³(8x+1)+8(8x+1)=0
(8x+1)(x³+8)=0
8x=1=0
8x=-1 /:8
x₁ =-¹/₈ -tylko ten pierwiastek należy do przedziału

x³+8=0
x³=-8
x₂=-2
x₃=-2
x₄=-2


h) 4x⁵ - x³ - 4x² +1 = 0
x³(4x² -1)-(4x² -1)=0
(4x² +1)(x³-1)=0
4x² +1=0
4x² =-1 -brak rozw.

x³-1=0
x³=1
x₁=1
x₂=1
x₃=1
Wszystkie trzy pierwiastki należą do przedziału
15 4 15