Kat BAC jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy BC. Cięciwa AB ma długość 15 cm. Do cięciwy AC należy punkt D, którego odległość od punktu B jest równa 17cm, a od punktu c - 12 cm. Oblicz długość promienia okręgu.

2

Odpowiedzi

2009-12-03T23:02:11+01:00
Kąt BAC jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy BC, zatem jest on kątem prostym o mierze 90°. Trójkąt ABC jest więc trójkątem prostokątnym.

|AB| = 15 cm
|BD| = 17cm
|DC| = 12cm

Trójkąt BAD też jest trójkątem prostokątnym
z tw. Pitagorasa
(|AD|)² = (|BD|)² - (|AB|)²
(|AD|)² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64
|AD| = √64 = 8cm

Wracając do trójkąta ABC:
|AC| = |AD| + |DC|
|AC| = 8 + 12 = 20cm

z tw. Pitagorasa:
(|BC|)² = (|AB|)² +(|AC|)²
(|BC|)² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
|BC| = √625 = 25cm
odcinek BC jest średnicą tego okręgu
zatem:
r = ½ * |BC|
r = ½ * 25 = 12,5cm
4 4 4
2009-12-03T23:08:33+01:00
Oznaczenia --> patrz: załącznik

Trójkąt BAD jest prostokątny, bo opiera się na średnicy, można więc obliczyć długość boku |AD|.

|AD|² + |AB|² = |BD|²
|AD|² + 15² = 17²
|AD|² = 289 - 225
|AD|² = 64
|AD| = 8

Znając długość boku |AD| możemy obliczyć długość boku |AC|.
|AD| + |DC| = 20

Teraz natomiast możemy obliczyć długość średnicy d - odcinka |BC| (twierdzenie Pitagorasa).

|AB|² + |AC|² = |BC|²
15² + 20² = |BC|²
225 + 400 = |BC|²
625 = |BC|²
25 = |BC|

Wiemy, że r = ½d, więc:
½ * d = ½ * 25 = 12,5 [cm]

Odp.: Promień wnosi 12,5 [cm].
1 5 1