Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x (jeden), x(dwa), x ( trzy) równania x(do potęgi)3 - 3x(do potęgi)2 - 6x + m =0 spełniają warunki: x(dwa) = x(jeden) * q , x(trzy) = x(jeden) * q (do potęgi)2 ? wyznacz te pierwsiatki

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-05T18:40:04+01:00
Funkcja ma trzy pierwiastki więc można ją zapisać w postaci:
a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=0
ale a=1, więc pozostaje
(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=0
Otrzymujemy:
x³-x₁x²-x₂x²-x₃x²+x₁x₂x+x₂x₃x+x₁x₃x-x₁x₂x₃=0
z tego mamy wzory Vietea dla wielomianu stopnia trzeciego:
-x₁-x₂-x₃=-3
+x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃=-6
-x₁x₂x₃=m

x₁+qx₁+q²x₁=3
qx₁²+q³x₁²+q²x₁²=-6
m=-q³x₁³

(1+q+q²)x₁=3
qx₁²(1+q+q²)=-6
(1+q+q²)=3/x₁
qx₁²(3/x₁)=-6
3qx₁=-6
qx₁=-2
m=-q³x₁³
m=-(qx₁)³
m=-(-2)³=8

q=-2/x₁
Wstawiamy to np. tutaj:
x₁+qx₁+q²x₁=3
x₁+(-2/x₁)x₁+(-2/x₁)²x₁=3
Po paru działaniach otrzymujemy:
x₁²-5x₁+4=0
Δ=25-4*1*4=9
√Δ=3
Otrzymujemy dwa pierwiastki, gdyż wyrazy ciągu geometrycznego możemy liczyć od jednej lub drugiej strony wtedy iloraz będzie odwrotny, dlatego drugi pierwiastek oznaczę przez x₃
x₁=1 x₃=4

q=-2/1=-2, więc x₂=-2

Odp: m=8 x₁=1 x₂=-2 x₃=4

Trochę męczące zadanie jak na 3 punkty, więc mam nadzieję, że dostanę "najlepsze rozwiązanie"
1 5 1