Udowodnij że wyrażenie n^4 n^3 n^2
---- + ----- + ------
4 2 4
(n do potęgi czwartej podzielone na cztery plus n do potęgi 3 podzielone na 2 plus n do potęgi 2 podzielone na 4) jest dla każdego n należącego do liczb naturalnych kwadratem liczby naturalnej.

Daję bardzo dużo punktów i czekam tylko na poważne rozwiązania z wytłumaczeniem, bez prób nabijania sobie punktów

Wybiorę najlepszą odp.

3

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-06T15:04:33+01:00
Oznaczymy:
n⁴/4+n³/2+n²/4=m², gdzie m jest liczbą naturalną
¼(n⁴+2n³+n²)=m² - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
¼(n²+n)²=m²
½(n²+n)=m
½n(n+1)=m
n(n+1) jest liczbą parzystą, gdyż iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze parzysty
więc wyrażenie ½n(n+1) jest liczbą naturalną co oznacza, że m również jest liczbą naturalną.

2009-12-06T19:07:44+01:00
Zapis:
n⁴/4 +n³/2 + n²/4 =x ², oznaczyłem ze to wyrażenie jest kwadratem x należącego do naturalnych

¼(n⁴+2n³+n²)=x² - wyciągnąłem 1/4 przed nawias aby niewiadome ułożyły się jak wynik wzoru skróconego mnożenia

¼(n²+n)²=x²
½(n²+n)=x
½n(n+1)=x

n(n+1) jest liczbą parzystą, ponieważ iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze parzysty

z tego wynika ze wyrażenie ½n(n+1) jest liczbą naturalną co oznacza, że m również jest liczbą naturalną.

2009-12-06T21:04:29+01:00
N⁴/4+n³/2+n²/4=m²
¼(n⁴+2n³+n²)=m²
¼(n²+n)²=m²
½(n²+n)=m
½n(n+1)=m


Dalej nie wiem jak..
Mam nadzieję, że pomogłam. ;)
Psdr. ;)