Odpowiedzi

2009-06-24T15:12:42+02:00
Nalezy tylko podstawic do wzoru Moivre w postaci wykladniczej:
(1) e^iφ=cosφ + i*sin φ

--------------------------
e^i3φ=cos3φ + i*sin 3φ
e^-i3φ=cos3φ - i*sin 3φ
dodaje stronami i dziel przez 2
cos3φ=1/2[e^i3φ+e^(-i3φ)]
cos3φ=1/2[(e^iφ)^3+(e^(-iφ))^3]
potrzebny wzor skr. mnozenia
(2) x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
cos3φ=1/2[e^iφ+e^(-iφ)][e^2iφ-e^0 +e^(-2iφ)
korzystam z (1)
cos3φ=1/2[2cosφ][2cos2φ-1]=cosφ][2cos²φ-2sin²φ-1]
cos3φ=cosφ][2cos²φ-2sin²φ-cos²-sin²φ]
cos3φ=cosφ][4cos²φ-3] wykorzystano sin²φ+cos²φ=1

ODP
cos3φ=cosφ][4cos²φ-3]
==========================================================
e^i3φ=cos3φ + i*sin 3φ
e^-i3φ=cos3φ - i*sin 3φ
odejmuje stronami i dziele przez 2
isin3φ=1/2[e^i3φ-e^(-i3φ)]
isin3φ=1/2[(e^iφ)^3-(e^(-iφ))^3]
potrzebny wzor skr. mnozenia
(2) x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
isin3φ=1/2[e^iφ-e^(-iφ)][e^2iφ+e^0 +e^(-2iφ)
korzystam z (1)
isin3φ=1/2[2isinφ][2cos2φ+1]=isinφ][2cos²φ-2sin²φ+1] /upraszczam i
sin3φ=sinφ][2cos²φ-2sin²φ+cos²+sin²φ]
sin3φ=sinφ][3-4sin²φ] wykorzystano sin²φ+cos²φ=1

Edytowalem mala korekta rowniez w cos3φ

Pozdrawiam

Hans