1. Wyznacz ósmy wyraz i sumę dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wiedząc, że a1=3 i r=2/3

2. Czwarty wyraz ciągu geometrycznego równa się 3, a piąty -3/2. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w czterech rzutach monetą uzyskamy więcej orłów niż reszek.


Proszę o pomoc!!!

3

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-08T10:20:18+01:00
Zad 1

a₁ = 3
r = ⅔

a₈ = ?
S₁₂ = ?

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
a (z indeksem dolnym n) = a₁ + (n - 1) * r

Wzór na sumę wyrazów początkowych ciągu arytmetycznego:
S (z indeksem dolnym n) = [2a₁ + (n - 1) * r * n] / 2

a₈ = 3 + (8 - 1) * ⅔
a₈ = 3 + 7 * ⅔
a₈ = 3 + (14/3)
a₈ = (9/3) + (14/3)
a₈ = (23/3)
a₈ = 7⅔

S₁₂ = [2 * 3 + (12 - 1) * ⅔ * 12] / 2
S₁₂ = [6 + 11 * ⅔ * 12] / 2
S₁₂ = [6 + 88] / 2
S₁₂ = (94/2)
S₁₂ = 47

Zad 2

a₄ = 3
a₅ = (-3/2)

S₆ = ?

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
a ( z indeksem dolnym n) = a₁ * q(do potęgi n - 1)

a₄ = a₁ * q³
a₅ = a₁ * q⁴

To co poniżej powinno być w klamerce:
3 = a₁ * q³ |/q³
(-3/2) = a₁ * q⁴

a₁ = 3 / q³
(-3/2) = a₁ * q⁴

-------------------------
3 / q³ = 3q⁻³
-------------------------

a₁ = 3q⁻³
(-3/2) = 3q⁻³ * q⁴

a₁ = 3q⁻³
(-3/2) = 3q |/3

a₁ = 3q⁻³
q = -½

a₁ = 3 * (-½)⁻³
q = -½

a₁ = 3 * (-2)³
q = (-½)

a₁ = 3 * (-8)
q = (-½)

a₁ =(-24)
q = (-½)

Wzór na sumę wyrazów początkowych ciągu geometrycznego:
S (z indeksem dolnym n) = a₁ * (1 - q(do n-tej potęgi))/(1 - q)

S₆ = [(-24) * (-½)⁶] / (1 + ½)
S₆ = (-3/8) / 1½
S₆ = (-¼)

Zad 3

Mamy 4 rzuty monetą. Orzeł ma wypaść częściej niż reszka. Musimy się zastanowić, jakie warunki muszą zajść, aby tak się stało?

Będzie to sytuacja w której orzeł wypadł 4 razy pod rząd:
OOOO

Albo sytuacja w której orzeł wypadł 3 razy (niekoniecznie pod rząd):
OOOR
OORO
OROO
ROOO

O - orzeł
R - reszka

Spójrz do załączników --->

Przeanalizujmy sytuacje pierwszą, kiedy orzeł wypada 4 razy (OOOO):

1⁰ Rzucamy monetą. Może wypaść orzeł albo reszka. Prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł wynosi ½.
Prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka jest takie samo.

2⁰ Rzucamy monetą. Może wypaść orzeł albo reszka. Prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł wynosi ½.
Prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka jest takie samo.

3⁰ Rzucamy monetą. Może wypaść orzeł albo reszka. Prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł wynosi ½.
Prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka jest takie samo.

4⁰ Rzucamy monetą. Może wypaść orzeł albo reszka. Prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł wynosi ½.
Prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka jest takie samo.

Nas oczywiście interesuje sytuacja w której za każdym razem wypadał orzeł, stąd też:

P(OOOO) = ½ * ½ * ½ * ½ = (1/16)

Analogicznie obliczamy prawdopodobieństwo dla każdej z pozostałych 4 sytuacji:
P(OOOR) = (1/16)
P(OORO) = (1/16)
P(OROO) = (1/16)
P(ROOO) = (1/16)

Ps. Pamiętaj, że za każdym razem prawdopodobieństwo czy wypadnie orzeł, czy reszka jest takie samo i wynosi ½.

Teraz należy zsumować prawdopodobieństwo zajścia każdej z sytuacji:
P(OOOO) + P(OOOR) + P(OORO) + P(OROO) + P(ROOO) = (1/16) + (1/16) + (1/16) + (1/16) + (1/16) = (5/16) = 0,3125

ODP: Prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie częściej niż reszka wynosi 0,3125.

Pss. Ktoś kto rozwiązał to zadanie poniżej, zapomniał o sytuacji w której orzeł wypada 4 razy pod rząd.
2009-12-08T11:05:48+01:00
Wyznacz ósmy wyraz i sumę dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wiedząc, że a1=3 i r=2/3
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
an=a1+(n-1)*r
a8=3+(7*2/3)=3+14/3=3+4 2/3
a8=7 2/3
Aby obliczyć sumę dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego należy obliczyć a12. A więc korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
an=a1+(n-1)*r
a12=3+(12-1)*2/3=3+11*2/3=3+7 1/3
a12=10 1/3
Korzystam ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn=[(a1+an)/2]*n
S12=[(3+10 1/3)/2]*12=78 6/3
S12=80

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego równa się 3, a piąty -3/2. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Szukam a1 i r
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
an=a1+(n-1)*r
a4=3
a5=-3/2

a1+(4-1)*r=3
a1+(5-1)*r= -3/2

a1=3-3r
3-3r+4r= -3/2

a1=3-3r
3+1r= -3/2

a1=3-3r
1r= -3/2 – 3

a1=3-3r
r= - 4 ½

Aby obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu należy obliczyć a1.
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
an=a1+(n-1)*r
a1=3-3*(-4 ½)=3-(-12 3/2)=3+13 ½
a1=16 1/2

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w czterech rzutach monetą uzyskamy więcej orłów niż reszek.
Czyli mają być trzy orły i jedna reszka.
ROOO : P(ROOO)=(0,5)(0,5)(0,5)(0,5)=0,0625
OROO : P(OROO)=(0,5)(0,5)(0,5)(0,5)=0,0625
OORO : P(OORO)=(0,5)(0,5)(0,5)(0,5)=0,0625
OOOR : P(OOOR)=(0,5)(0,5)(0,5)(0,5)=0,0625
P=P(ROOO)+P(OROO)+P(OORO)+ P(OOOR)=0,0625+0,0625+0,0625+0,0625=0,25
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 1/4
2009-12-08T12:00:37+01:00
Zadanie1
a1=3
r=2/3
an=a1+(n-1)×r
a8=3+(8-1)×2/3
a8=23/3
S12=(a1+a12)×(12/2)
a12=3+11×(2/3)=31/3
Sn=(3+31/3)×6
Sn=80
zadanie2
a4=3
a5=-3/2
a5/a4=q
q=-1/2
an=a1×q(n-1)w potędze
a4=a1×(-1/2)³
a4=a1×(-1/8)
3=a1×(-1/8)
a1=-24
Sn=a1×(q do n minus 1)to w liczniku podzielone przez (q-1)w mianowniku
S6=-24×(-1/2)⁶-1/(-1/2)-1
S6=-15,75
zadanie3
n=4
k=3
p=½
q=½
Pn(k)=(n pod spodem k)razy p do k razy q do n-k
Pn(k)=(⁴₃)×(⅓)³×(½)¹
P4(3)=(⁴₃)×(½)⁴
P4=4×1/16
P4=¼