³√(5√2 - 7) + ³√(5√2 + 7) dowiedz, że owo wyrażenie jest całkowite

Oba wyrażenia w nawiasach znajdują się w całości pod pierwiastkami 3 stopnia tj. pierwszy pod pierwiastkiem 3 stopnia + drugi nawias pod pierwiastkiem 3 stopnia. Nie używaj kalkulatora by obliczyć pierwiastki

1

Odpowiedzi

2009-12-08T22:33:11+01:00
³√(5√2 - 7) + ³√(5√2 + 7)=x
Podniesiemy wyrażenie do sześcianu na wszelki wypadek przypomnę wzór skróconego mnożenia:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

³√(5√2 - 7) + ³√(5√2 + 7)=x
5√2-7+3³√(5√2-7)(5√2-7)(5√2+7)+3³√(5√2-7)(5√2+7)(5√2+7)+5√2 + 7
I tak oto doszliśmy do momentu w którym nic nie zrobimy z √2, więc liczba z pewnością jest niewymierna. Za to jeśli jednak źle przepisałaś działanie i jest tam minus wtedy dla :
³√(5√2 - 7) - ³√(5√2 + 7)=x mamy:
5√2-7-3³√(5√2-7)(5√2-7)(5√2+7)+3³√(5√2-7)(5√2+7)(5√2+7)-5√2 - 7=-14-3∛(5√2-7)+3³√(5√2+7)=x³
x³=-14-3(³√(5√2 - 7) - ³√(5√2 + 7))
x³+3x+14=0
Wśród podzielników wyrazu wolnego(±1,±2,±7)znajdujemy rozwiązanie całkowite x=-2.