Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-09T14:33:12+01:00
Wiemy, że boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.

a₁ = a
a₂ = a + r = b
a₃ = a + 2r = c

===========================================================

Skoro obwód tego trójkąta wynosi 36cm, to możemy zapisać następujące równanie:

a + b + c = 36cm

Do tego równania możemy podstawić zależności wynikające z tego, że boki tworzą ciąg arytmetyczny:

a + (a + r) + (a + 2r) = 36cm

3a + 3r = 36cm // :3

a + r = 12cm

b = a + r = 12cm

===========================================================

Skoro b = 12cm, to uzależnimy długość pozostałych boków od boku b.

a = b - r = 12cm - r
b = 12 cm
c = b + r = 12cm + r

===========================================================

Teraz musimy założyć, że ciąg arytmetyczny jest rosnący bądź malejący (nie może być ciągiem stałym, czyli r = 0, bo mielibyśmy trzy boki o długości 12cm, a wtedy nie byłby to trójkąt prostokątny tylko równoboczny). Załóżmy, że jest to ciąg rosnący, czyli że r > 0.

Jeśli r > 0, to:

a < a +r < a + 2r

czyli

a < b < c.

Wobec tego c jest najdłuższym bokiem tego prostokąta prostokątnego, czyli jego przeciwprostokątną.

===========================================================

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa (suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej):

a² + b² = c²

Jak już wcześniej zauważyliśmy:

a = 12cm - r
b = 12cm
c = 12cm + r

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

(12cm - r)² + (12cm)² = (12cm + r)²

144cm² - 24cm×r + r² + 144cm² = 144cm² + 24cm×r + r²

144cm² = 48cm×r // : 48cm

r = 3cm

Podstawmy wynik do naszych danych:

a = 12cm - r = 12cm - 3cm = 9cm
b = 12cm
c = 12cm + r = 12cm + 3cm = 15cm

===========================================================

Odpowiedź:
Boki trójkąta mają długość 9cm, 12cm i 15cm.

===========================================================

Dodatkowe informacje:
Gdybyśmy założyli, że mamy do czynienia z malejącym ciągiem otrzymalibyśmy równanie:

c² + b² = a² (bok a byłby przeciwprostokątną)

Jego rozwiązanie dałoby nam wynik r = -3cm i w efekcie mielibyśmy:

a = 12cm - r = 12cm - (-3cm) = 12cm + 3cm = 15cm
b = 12cm
c = 12cm + r = 12cm + (-3cm) = 12cm - 3cm = 9cm

Długości boków byłyby te same, tylko otrzymane w innej kolejności.