Prosiłbym o pisanie obliczeń bo nauczyciele mówią ze biore to z odpowiedzi ;P
Zad.1
Uzasadnij , że liczba 3("n+2"na górze w potędze) + 3("n" na górze) jest podzielona przez 10 dla każdej liczby naturalnej n.

Zad.2
Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a,b,c,d wynoszą odpowiednio: 1,2,3 i 4. Wskaż że suma:
a+b+c+d
jest liczbą podzieloną przez 5.
Wskazówka. Przeczytaj informacje w ramce na str.80
Informacje z ramki: Każdą liczbę naturalną "a" można przedstawić w postaci a=7k+r, gdzie k i r są liczbami naturalnymi i r<7 . Wtedy r jest resztą z dzielenia liczby "a" przez 7. (gdy liczba "a" jest podzielna przez 7, to r = 0 )

Zad 3.
Z liczby dwucyfrowej "a" utworzono dwie liczby : pierwszą przez dopisanie cyfry 1 na początku , drugą przez dopisanie cyfry 1 na końcu. Uzasadnij że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę "a" jest podzielny przez 10.

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-09T16:36:16+01:00
1.3^n+2 + 3^n= 3^n * 3^2 + 3^n = 9 * 3^n + 3^n= 3^n( 9+1 )= 3^n * 10
w iloczynie jeden z czynników wynosi 10 więc liczba jest podzielna przez 10
(* oznacza mnożenie a 3^n znaczy 3 do potęgi n, 3^n+2 znaczy 3 do potęgi n+2)

3.
a=10x +y - początkowa liczba a
100+10x+y-liczba powstałą przez dopisanie 1 na początku
100x+10y+1-liczba powstałą przez dopisanie 1 na końcu

(100+10x+y)(100x+10y+1)-10x-y= =10000x+1000y+100+1000x^2+100xy+10x+100xy+10y^2+y-10x-y=
=10(100x^2+y^2+20xy+1000x+100y+10)
to wyrażenie jest podzielne przez 10 ponieważ jednym z czynników jest 10

2.
a=5k+1
b=5k+2
c=5k+3
d=5k+4

a+b+c+d=5k+1+5k+2+5k+3+5k+4=20k+10=5(4k+2)

jednym z czynników w tym wyrażeniu jest 5 więc ten iloczyn jest podzielny przez 5
2009-12-09T22:17:52+01:00
1. Zrobię to przy użyciu indukcji matematycznej.
3^(n+2)+3^n=10m

1. Szukam najmniejszej liczby naturalnej dla, której twierdzenie jest prawdziwe.
n=0
L=3^(n+2)+3^n=9+1=10=10*1=|c∋m=1|=10m=P

∀n≥0
Założenie: ∃m∈c 3^(n+2)+3^n=10m
Teza: ∃l∈c 3^[(n+1)+2]+3^(n+1)=10l

L=3^[(n+1)+2]+3^(n+1)=3*3^(n+2)+3*3^n=3[3^(n+2)+3^n]=3*10m=10*3m=|c∋l=3m|=10l=P
Ponieważ m jest liczbą całkowitą więc l również musi być liczbą całkowitą

2.
a+b+c+d=(5e+1)+(5f+2)+(5g+3)+(5h+4)=
=5e+5f+5g+5h+10=5(e+f+g+h+2)
Co oznacza, że a+b+c+d jest podzielne przez 5

3. Liczbę dwucyfrową można zapisać w postaci:
a=10x+y, gdzie x,y są cyframi
b=100x+10y+1
c=100+10x+y
b*c-a=10d
(100x+10y+1)(100+10x+y)-(10x+y)=
=10000x+1000y+100+1000x²+100xy+10x+100xy+10y²+y-10x-y=
=10000x+1000y+1000x²+200xy+10y²+100=
=10(1000x+100y+100x²+20xy+y²+10)=10d
więc jest to podzielne przez 10, gdyż x i y są liczbami naturalnymi, więc i d musi być liczbą naturalną