Znajdz trzy liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze iloczyn dwoch pierwszych wyrazow tego ciagu wynosi 16 a iloczyn dwoch ostatnich jego wyrazow jest rowny 256

znajdz cztery liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze suma wyrazow skrajnych tego ciagu wynosi 45 a suma srodkowych jest rowna 30

znajdz cztery liczby tworzace ciag geonetryczny wiedzac ze iloczyn wyrazow pierwszego i trzeciego wynosi 144 a iloczyn wyrazow drugiego iczwartego jest rowny 324

znajdz cztery liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze iloczyn wyrazow pierwszego i trzeciego wynosi 400 a suma wyrazow drugiego i czwartego jest rowna 145

prosze o pomoc

1

Odpowiedzi

2009-12-10T17:30:31+01:00
Zad.1.
znajdz trzy liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze iloczyn dwoch pierwszych wyrazow tego ciagu wynosi 16 a iloczyn dwoch ostatnich jego wyrazow jest rowny 256

a1,
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
Są to wyrazy ciągu geometrycznego


a1*a2 = 16
a2*a3 = 256

a1 * a*q = 16
a1*q*a1*q² = 256

a1²*q = 16
a1²*q * q²= 256

Wyrażenie a1²*q = 16 podstawiam do drugiego równania

a1²*q = 16
16*q² =256 /:16

a1²*q = 16
q² = 16

a1²*q = 16
q= -4 lub q = 4

a1 =√ [16 :(-4)] =√ -4 l( pierwiastek ujemny nie istnieje lub
a1 = √(16 :4) = √4 =2

Jedynym więc rozwiazaniem są:
a1 = 2
q = 4

a1 = 2
a2 = a1*q = 2*4 =8
a3 = a1*q² = 2*4² = 2*16 =32
Wyrazami ciągu są : a1 = 2, a2 = 8, a3 = 32

Zad2.
znajdz cztery liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze suma wyrazow skrajnych tego ciagu wynosi 45 a suma srodkowych jest rowna 30


a1
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
a4 = a1*q³

a1 + a4 = 45
a2 + a3 = 30

a1 + a1*q³ =45
a1*q + a1*q² = 30

a1(1+q³) =45
a1*q(1 +q ) = 30

a1 = (45): (1 +q³)
[(45): (1 +q³)]*q*(1 +q) =30

(1 +q³) = (1+q)(1 -q +q²) ze wzorów skróconego mnożenia

a1 = (45): (1 +q³)
[(45*q*(1+q)];[ 91+q)(1 -q +q²)] =30

a1 = (45): (1 +q³)
45q = 30(1 -q +q²) /:15

a1 = (45): (1 +q³)
3q =2(1-q +q²)

a1 = (45): (1 +q³)
3q =2 - 2q +2q²

a1 = (45): (1 +q³)
3q -2 +2q -2q² = 0

a1 = (45): (1 +q³)
-2q² +5q -2 = 0

z drugiego równania obliczam Δ oraz q₁ , q₂

Δ= 5² - 4*(-2)*(-2) = 25 - 16 = 9
√Δ = √9 = 3

q₁ = (-5 -3):2*(-2) =( -8 ): (-4) = 2
q₂ = (-5 +3):2*(-2) =( -2): (-4) = 1/2

Obliczam teraz a1 dla q= 2
a1=(45): (1 +q³) = 45 :( 1 +2³) = 45 : (1+8) = 45 :9 =5
Teraz obliczam a1 dla q = 1/2
a1 = (45): (1 +q³) = 45 :[ 1 +(1/2)³] = 45 : (1+1/8) = 45 :(9 /8 )= 45*(8/9)=40

a1= 5 i q = 2
a2 = a1*q = 5*2 = 10
a3 = a1*q² = 5*2² = 5*4 = 20
a4 = a1*q³ = 5*2³ = 5*8 = 40
lub
a1 = 40 i q = 1/2
a2 = a1*q = 40*(1/2) = 20
a3 = a1*q² = 40*(1/2)² = 40 *(1/4) = 10
a4 = a1*q³ = 40*(1/2)₃ = 40*(1/8) = 5

Zad 3.
znajdz cztery liczby tworzace ciag geonetryczny wiedzac ze iloczyn wyrazow pierwszego i trzeciego wynosi 144 a iloczyn wyrazow drugiego iczwartego jest rowny 324
a1
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
a4 = a1*q³

Ułożyć równania i rozwiazać je
a1* a3 = 144
a2*a4 = 324

a1*a1*q² =144
a1*q *a1*q³ = 324

a₁²*q² = 144
a1²*q⁴ = 324

itd zrób sama wzorując się na poprzednich przykładach

Zad4.
znajdz cztery liczby tworzace ciag geometryczny wiedzac ze iloczyn wyrazow pierwszego i trzeciego wynosi 400 a suma wyrazow drugiego i czwartego jest rowna 145
a1
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
a4 = a1*q³

Ulożyć układ równań i rozwiazać go
a1*a3 = 400
a2 + a4 = 145

a1*a1*q² = 400
a1*q + a1*q³ = 145

itd. zrób sama
zbyt dużo zajmuje miejsca i czasu



3 2 3