Odpowiedzi

2009-12-11T20:50:58+01:00
F(x)=x^5/x^2+1

f'(x)=[5x⁴*(x²+1)-x⁵*2x]/(x²+1)²=[5x⁶+5x⁴-2x⁶]/(x²+1)²=(3x⁶+5x⁴)/(x²+1)²

druga pochodna
f'(x)=[(18x⁵+20x³)*(x²+1)²-(3x⁶+5x⁴)*4x(x²+1)]/(x²+1)⁴=
(x²+1)[(18x⁵+20x³)*(x²+1)-4x(3x⁶+5x⁴)]/(x²+1)⁴=

[18x⁷+18x⁵+20x⁵+20x³-12x⁷-20x⁵]/(x²+1)³=
(6x⁷+20x³)/(x²+1)³=2x³(3x⁴+10)/(x²+1)³
wypukłość

f'(x)>0 dla x∈R funkcja dodatnia
2009-12-11T22:12:17+01:00
F(x)=x⁵/(x²+1) - mam nadzieję, że to ta funkcja choć zapis sugeruje co innego.
1. D=R
2. Miejsca zerowe etc.
y=0 wtw x⁵=0
x=0
y(0)=0
3. lim x→-∞ x⁵/(x²+1)=x³/(1+1/x²)=-∞
lim x→+∞ x⁵/(x²+1)=x³/(1+1/x²)=+∞
4. Funkcja nie ma asymptot
5. y'=[5x⁴(x²+1)-x⁵2x]/(x²+1)²=(5x⁶+5x⁴-2x⁶)/(x²+1)²
y'=(3x⁶+5x⁴)/(x²+1)²
D'=D
y'=0 wtw 3x⁶+5x⁴
x=0
y'>0 wtw 3x⁶+5x⁴, bo mianownik jest zawsze dodatni
y'>0 wtw x∈R
6. y''=[(18x⁵+20x³)(x²+1)²-(3x⁶+5x⁴)2(x²+1)2x]/(x²+1)⁴=
(x²+1)[(18x⁵+20x³)(x²+1)-(12x⁷+20x⁵)]/(x²+1)⁴=
[18x⁷+20x⁵+18x⁵+20x³-12x⁷-20x⁵]/(x²+1)⁴=
(6x⁷+18x⁵+20x³)/(x²+1)⁴
y''=0 wtw 6x⁷+18x⁵+20x³=0
x=0
y''>0 wtw 6x⁷+18x⁵+20x³>0
y''>0 wtw x>0
y&#39;&#39;<0 wtw x<0
Funkcja jest rosnąca na przedziale R
Jest wypukła ku górze dla x∈(-∞,0), a ku dołowi dla x∈(0,∞). Ma w x=0 punkt przegięcia typu "-+"

P.S. Pierwsza i druga pochodna zerują się w x=0, teoretycznie, aby zbadać przy użyciu pochodnych czy jest w tym punkcie ekstremum czy punkt przegięcia należy policzyć kolejne pochodne aż dojdzie się do takiej która się nie zeruje.
Wtedy dla parzystej pochodnej będziemy mieli ekstremum, a dla nieparzystej punkt przegięcia