Proszę o szczegółowe rozwiązania wraz z poprawnymi wynikami (mam same odpowiedzi, więc będę mógł zweryfikować ich poprawność). Za przysłowiowe "bzdury" zgłaszam fakt moderatorowi. Wybieram najlepszą odpowiedź, więc warto się trochę postarać.

Dział: Funkcja kwadratowa (szkoła ponadgimnazjalna).

Zadanie 1.
Funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to, (-∞,-1>. Największa wartość funkcji f w przedziale <10;12> jest liczba 338. Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.

Zadanie 2.
Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: -3 oraz 2.
a) Oblicz wartość wyrażenia f(7)/f(-2)
b) Wiedząc dodatkowo, że największa wartość funkcji f wynosi 25/16, wyznacz wzór funkcji f.
c) Rozwiąż nierówność f(x)≥ 3x+10,5.

2

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-11T22:49:29+01:00
Zadanie 1.
Funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to, (-∞,-1>. Największa wartość funkcji f w przedziale <10;12> jest liczba 338. Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.

x₁=x₂=-b/2a=-1
-b=-2a
b=2a
y=a(x-x₁)²
y=a(x+1)² i a>0

f(12)=338
338=a(12+1)²
338=169a
a=2
y=2(x+1)²-iloczynowa
y=a(x-p)²+q kanoniczna
y=y=2(x+1)²
2x²+4x+2-ogólna
Zadanie 2.
Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: -3 oraz 2.
a) Oblicz wartość wyrażenia f(7)/f(-2)
b) Wiedząc dodatkowo, że największa wartość funkcji f wynosi 25/16, wyznacz wzór funkcji f.
y=a(x+3)(x-2)
y=a(x²-2x+3x-6)
y=a(x²+x-6)
y=ax²+ax-6a
yw=25/16
-Δ/4a=25/16
(-b²+4ac)/4a=25/16
(-b²+4ac)16=100a
(-a²+4a(-6a))16=100a/:4
-4a²-96a²-25a=0
100a²-25a=0
a(100a-25)=0
a=0sprzeczne v a=25/100=1/4
y=1/4x²+1/4x-6/4
c) Rozwiąż nierówność f(x)≥ 3x+10,5.
1/4x²+1/4x-6/4≥ 3x+10,5/*4
x²+x-6≥ 12x+42
x²-11x-48≥ 0
Δ=121+192=313
√Δ=√313
x₁=(11-√313)/2
x₂=(11+√313)/2
x∈(-∞,(11-√313)/2)u((11-√313)/2,∞)
7 3 7
2009-12-11T23:39:33+01:00
1.
Maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to, (-∞,-1>, oznacza, to, że liczba -1 jest tym jedynym miejcem zerowym (zatem miejsce zerowe jest wierzchołkiem paraboli i x₁= p oraz q = 0, bo Δ = 0)

x₁ = -b/2a=-1
-b=-2a
b=2a

Funkcja ma postać:
y = a(x - x₁)² - postać iloczynowa funkcji
y = a(x + 1)²
a > 0 (jest malejąca w przedziale od -∞ do -1, dalej rosąca, czyli ramiona paraboli skierowane do góry )

Największa wartość funkcji f w przedziale <10;12> jest liczba 338, jest więc to dla x = 12
f(x) = a(x + 1)²
f(12) = 338

a(12+1)² = 338
169a = 338 |: 169
a = 2

Postać iloczynowa: y = 2(x + 1)²
postać ogólna: y = 2x² + 4x + 2

y = a(x - p)² + q
dla nas p = -1, q = 0
postać kanoniczna: y = 2(x + 1)²


2.
a)
Funkcja opisuje się wzorem y = a(x - x₁)(x - x₂)
y = a(x + 3)(x - 2)
y= a(x² +3x -2x -6)
y = a(x² + x - 6)
y = ax² + ax - 6a

f(x) = a(x + 3)(x - 2)
f(7) = a(7 + 3)(7 - 2) = a*10*5 = 50a
f(-2) = a(-2 + 3)(-2 - 2) = a*1 *(-4) = -4a

b)
q=25/16
q = -Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = (4ac - b²)/4a

(4ac - b²)/4a = 25/16 |*16
16(4ac - b²)/4a = 25 |*4a
16(4ac - b²) = 100a |:4
4(4ac - b²) = 25a
16ac - 4b² - 25a = 0

b= a, c = -6a
-96a² - 4a² -25a = 0
-100a² - 25a = 0 |:(-25)
4a² + a = 0
a(4a - 1) = 0

a = 0 nie może być, bo a>0 (funkcja jest kwadratowa)
4a - 1 = 0
4a = 1 |:4
a = ¼

funkcja ma postać: y = ¼x² +¼x - 3/2


c)
f(x)≥ 3x+10,5.
¼x² +¼x - 3/2 ≥ 3x + 10,5 |*4
x² + x - 6 ≥ 12x + 42
x² - 11x - 48 ≥ 0
a = 1, b = -11, c = - 48
Δ = b² - 4ac
Δ = 121 + 192 = 313
√Δ=√313
x₁= (11 + √313)/2
x₂= (11 - √313)/2
x∈(-∞, x₂)u(x₁,+∞) (wstaw sobie za x₁ i x₂ co wyszło powyżej)
4 3 4