Ile wyrazów ciągu a(n) = (n+15)/n jest liczbami całkowitymi i dlaczego jest tyle tych wyrazów???

Obliczyłem to zadanie dla około 40 liczb i wyszło, że tylko 4 wyrazy tego ciągu to liczby całkowite. 1,3,4 i 15 wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą...

Moje pytanie: Wyrazów ciągu a(n) może być nieskończenie wiele... dlaczego tylko te 4 wyrazy spełniają założenie zadania( wyraz ciągu liczbą całkowitą)??? I jaką mam pewność, że jak nie wpisze za n np. 345657 to nie wyjdzie mi że ten wyraz ciągu będzie liczbą całkowitą???

PS to było zadanie testowe... poprawna odpowiedź to 4 liczby... ale jak to wytłumaczyć, że są tylko 4???

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-12T11:09:03+01:00
Bardzo prosto można wytłumaczyć:

a(n) = (n+15) / n = n / n + 15 / n = 1 + 15 / n

Gdy n>15 to zachodzi podwójna nierówność
0 < 15 / n < 1 czyli
1 < 1 + 15/n < 2

Zatem skoro a(n) = 1 + 15 / n, to

1 < a(n) < 2

Zatem gdy n>15 to a(n) jest liczbą z przedziału otwartego (1,2) i nie jest liczbą całkowitą

Zatem w zadaniu wystarczy sprawdzić n tylko do 15, później już nie ma sensu nic sprawdzać
8 2 8