Zadanie z ciągów, prosze odokladne obliczenia. każda "niepoważna" odpowiedz bedzie usuwana

Maturzysta, przygotowując się do egzaminiu dojrzalosci, postanowil rozwiązać 500 zadańz matematyki. Pierwszego dnia rozwiązal 2 zadania. Każdego następnego rozwiązywal o 1 zadanie więcej. Przyjmując, ze rozwiazywal zadania przez 7 dni w tygodniu, oblicz:
a) po ilu dniach rozwiązal zaplanowaną ilość zadań;
b)ile zadań maturzysta musi rozwiązać w ostatnim dniu;

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-12T19:37:40+01:00
Maturzysta przez 7 dni rozwiązał
2+3+4+5+6+7+8 zadań

Ogólnie przez n dni rozwiązał
2 + 3 + ... + (n+1) zadań. policzmy ile to jest

Korzystamy z ciągu arytmetycznego
a(1) = 2
r = 1
a(n) = a(1) + (n-1) * r = 2 + n-1 = n+1

2 + 3 + ... + (n+1) = a(1) + a(2) + ... + a(n) =
= S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 =

= n * (2 + n + 1) / 2 = 1/2 n^2 + 3/2 n

Szukamy najmniejszego całkowitego n, takiego że S(n) >= 500
1/2 n^2 + 3/2 n > 500
n^2 + 3n > 1000
n^2 + 3n - 1000 > 0
delta = 9 + 4*1000 = 4009
√delta ≈63,3
n1 = (-3 -√delta) /2
n2 = (-3 +√delta) / 2 ≈(-3 + 63,3) / 2 =60,3 / 2 = 30,15

Czyli maturzysta potrzebuje 31 dni na rozwiązanie wszystkich zadań
Zrobił by ich wtedy łącznie S(31) = 1/2 * n^2 + 3/2 n =
= 1/2 * 31 * 31 + 3/2 * 31 = 1/2 * 961 + 1/2 * 93 =
1/2 * 1054 = 527
Normalnie w 31 dniu powinien zrobić 32 zadania, ale w takim układzie zrobiłby 527 zadan, czyli o 27 za dużo, zatem ostatniego dnia zrobi tylko 32 - 72 = 5 zadań
1 5 1