Odpowiedzi

2009-12-15T23:12:45+01:00
A2+b2=9
a+b=1

a4+a4= (a2 + b2) (a2+b2)
= 9*9= 81
1 1 1
2009-12-15T23:57:25+01:00
A4 + b4, gdy a2 + b2 = 9 oraz a + b = 1

a⁴ + b⁴= nie rozkłada sie na czynniki pierwsze !

a⁴ - b⁴ - rozkłada się na czynniki
a⁴ - b⁴= (a² +b²)(a² -b²) = (a² +b²)(a -b)(a +b)=
= 9 *(a-b) *1 =
= 9( a -b)

gdyby chodziło o a⁴ + b⁴ to najpierw trzeba ułożyć układ równań
a + b = 1
a² + b² = 9

a =1 - b
(1-b)² +b² = 9

a = 1-b
1 - 2b +b² + b² -9 = 0

a = 1-b
2b² -2b -8 = 0 /:2

a = 1-b
b² -b -4 = 0

z drugiego równania obliczam 2 pierwiastki b₁ i b₂
b² -b -4 = 0
Δ = (-1)² - 4*1*(-4) = 1+16 = 17
√Δ=√17

b₁ = (1-√17) :2 = ½(1 -√17)
b₂ = (1+√17) :2 = ½(1 +√17)
teraz obliczam a₁ i a₂
a₁ = 1- b₁ = 1-½(1 -√17) = 1-½ +½√17 = ½ + ½√17 = ½(1 +√17)
a₂ = 1- b² = 1-½(1 +√17) = 1-½ -½√17 = ½ - ½√17 = ½(1 -√17)


Teraz obliczam a⁴ + b⁴ rozpatrując 2 przypadki
1) dla a₁ = ½(1 +√17) i b₁= ½(1 -√17)
2) dla a₂= ½(1 -√17) i b₂ = ½(1 +√17)

1) a⁴ + b⁴ = [½(1 +√17)]⁴ + [½(1 -√17)]⁴

2) a⁴ + b⁴ = [½(1 -√17) ]⁴ +[ ½(1 +√17)]⁴
Ponieważ sładniki w sumie są zamienne w obu przypadkach wystarczy obliczyć jeden z przypadków np.1)

1) a⁴ + b⁴ = [½(1 +√17)]⁴ + [½(1 -√17)]⁴=

Korzystam ze wzoru ( x + y)⁴= x⁴+ 4x³y +6x²y²+ 4xy³ + y⁴
(x - y )⁴= x⁴- 4x³y + 6x²y²- 4xy³ + y⁴

( x + y)⁴+(x - y )⁴= x⁴+4x³y +6x²y²+ 4xy³ +y⁴+x⁴- 4x³y + 6x²y²- 4xy³ +y⁴=
= 2x⁴+12x²y² +y⁴

a⁴ + b⁴= [½(1 +√17)]⁴ + [½(1 -√17)]⁴ = (1/16){[1+√17] ⁴+[1-√17]⁴}=
= (1/16){2*1⁴+12*1²*(√17)² + (√17)⁴}=
= (1/16){ 2 + 12*17 + 17²}=
= (1/16)[ 2 + 204 + 289]=
= (1/16)*(495) =
= 495:16 =
= 30,9375


4 1 4