Zad1.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 2a i krawędzi bocznej a√5 oraz stożek o średnicy podstawy 2a i tworzącej a√5. oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości stożka.
zad.2
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=18 i kacie nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy 60stopni . wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
zad3.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a=8. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem α , że cosα=²₃. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

1

Odpowiedzi

2009-12-16T00:36:30+01:00
Zad 1
ostrosłup
2a - krawędź podstawy ostrosłupa
a√5 - krawędź boczna ostrosłupa
h - wysokość = ?
h₁ - wysokość trójkąta równobocznego podstawy = 2a√3 dzielone przez 2 = a√3
2/3 h₁ = 2a√3 dzielone przez 3
h² = (a√5)² - (2a√3/3)²
h² = 5a² - 12a²/9
9h² = 45a² - 12a²
9h² = 33a²
3h² = 11a²
h² = 11a²/3
h = a√11/3
Pp - pole podstawy ostrosłupa = 2a razy a√3 dzielone przez 2 = a²√3
Vo - objętość ostrosłupa = 1/3 Pph = 1/3 razy a²√3 razy a√11/3 = a³√11 dzielone przez 3
stożek
2a - średnica podstawy
a√5 - tworząca
r - promień podstawy = 2a/2 = a
h - wysokość stożka = ?
h² = (a√5)² - a²
h² = 5a² - a²
h² = 4a²
h = 2a
Vs - objętość stożka = 1/3 razy πr²h = 1/3 razy π razy a² razy 2a = 2a³π/3
Vo/Vs = a³√11 dzielone przez 3 podzielić przez 2a³π/3 = a³√11 dzielone przez 2a³π = √11 dzielone przez 2π = 3,32/6,28 = 0,5
zad 2
α = 60° - kąt nachylenia krawędzi boczne
a - krawędź podstawy = 18
h - wysokość ostrosłupa = ?
h₁ - wysokość podstawy = a√3/2 = 18√3/2 = 9√3
2/3h₁ = 2 razy 9√3 dzielone przez 3 = 6√3
1/3h₁ = 9√3/3 = 3√3
h/6√3 = tg60°
h = 6√3tg60° = 6√3 razy √3 = 18 - wysokość ostrosłupa
Pp - pole podstawy = ah₁/2 = 18 razy 9√3 dzielone przez 2 = 81√3
Vo - objętość ostrosłupa = 1/3 razy Pph = 1/3 razy 81√3 razy 18 = 486√3
Pb - pole powierzchni bocznej = Psb razy 3
Psb - pole ściany bocznej = ah²/2
h₂ - wysokość ściany bocznej
(h₂)² = (3√3)² + 18²
(h₂)² = 27 + 324 = 351
h₂ = √351
Psb = 18√351/2 = 9√351
Pb = 3 razy 9√351 = 27√351 = 27 razy 18,7 = 392,7
zad3
cosα = 2/3 stąd tworząca = 3 a 2/3 wysokości podstawy = 2
h₁ - wysokość podstawy = 3
Pp = ah₁/2 = 8 razy 3/2 = 24/2 = 12
h - wysokość ostrosłupa
h² = 3² - 2² = 9 - 4 = 5
h = √5
V - objętość ostrosłupa = Pph = 12√5
h₂ - wysokość ściany bocznej
(h₂)² = 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6
h₂ = √6
Pśb - pole ściany bocznej = ah₂/2 = 18√6/2 = 9√6
Pb - pole ściany bocznej = 3 razy 9√6 = 27√6 =





2 1 2