Odpowiedzi

2013-12-22T13:30:25+01:00
Podam dwa możliwe sposoby (oczywiście to nie są wszystkie dostępne możliwości), dzięki którym można tak podzielić dowolny trójkąt:

sposób 1:
1. Wybieramy dowolną podstawę - niech to będzie AB.
2. Dzielimy ją na trzy równe odcinki (konstrukcja z użyciem twierdzenia Talesa) otrzymując punkty D i E.
3. Łączymy dwa punkty D i E z punktem C.

Dlaczego podana konstrukcja jest poprawna?
h - wysokość trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C
a - długość podstawy AB

P_{ABC} = \frac{1}{2}ah\\
P_{ADC} = P_{DEC} = P_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}a \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}ah = \frac{1}{3} P_{ABC}


sposób 2:
1. Rysujemy wszystkie trzy środkowe (linie łączące wieszchołek ze środkiem naprzeciwległego boku).
2. Linie łączące wierzchołki trójkąta z punktem przecięcia środkowych utworzą szukany podział.

Dlaczego podana konstrukcja jest poprawna?

Po pierwsze zauważamy, że ze względu na równe podstawy (pół odpowiedniego boku) oraz wysokości na nie opuszczone (ten sam wieszchołek L) zachodzi:P_1 = P_{FKL}=P_{KGL}\\
P_2 = P_{GIL}=P_{IHL}\\
P_3 = P_{HJL}=P_{JFL}

Ponadto mamy:
P_{FKH} = P_{KGH}\\
P_1+2P_3 = P_1 + 2P_2\\
P_3 = P_2


Analogicznie otrzymujemy:
P_{FGI} = P_{IHF}\\ P_2+2P_1 = P_2 + 2P_3\\ P_1 = P_3

Czyli mamy:P_1 = P_2 = P_3
Co daje:
P_{FLG} = 2P_1 = 2P_2 = P_{GHL} = 2P_2 = 2P_3 = P_{HLF}\\
P_{FLG} = P_{GHL} = P_{HLF}\\
7 4 7