Odpowiedzi

2009-09-11T22:45:09+02:00
Najlepiej podstawić pod liczby jakieś wartości

a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x^2+y^2>=2xy

dla x = 0, y = 0

x² + y² ≥ 2xy
0² + 0² = 1 + 1 ≥ 2xy

0+0 ≥ 2xy

dla x = 2, y = 2

x² + y² ≥ 2xy
2² + 2² = 4 + 4 ≥ 2xy

2+2 ≥ 2xy


b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)

dla x= 0, y=0, z=1

x²+y²+z²≥¹/₃

1 + 1 + 1 ≥¹/₃

dla x=1/3, y=1/3, z=1/3

x²+y²+z²≥¹/₃

1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 ≥¹/₃
4 2 4
2009-09-11T22:47:36+02:00
A) Korzystasz z informacji, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną czyli większą lub równą zero.
∀a∈R a²≥0 czyli wystartujemy z zależności:(x-y)²≥0
x²-2xy+y²≥0
x²+y²≥2xy cbdu
1 5 1
2009-09-11T22:54:16+02:00
Ad 1)
x,y ∈ R => x² + y² ≥ 2xy

Dowod:
x² + y² - 2xy ≥ 0
ze wzoru skroconego mnozenia bedzie to:
(x - y)² ≥ 0
wiadomo ze kazda liczba podniesiona do kwadratu jest wieksza badz rowna 0.
CND.

ad 2)
x+y+z=1, to x^2+y^2+z^2>=(1/3)

x+y+z-1=0 i x²+y²+z²-1/3 ≥ 0
zatem:
x²+y²+z²-1/3 ≥ x+y+z-1
x²+y²+z²+2/3 ≥ x+y+z

suma kwadratow trzech dowolnych liczb (plus 2/3) jest zawsze wieksza od sumy tych trzech dowolnych liczb.
CND
7 3 7