1. Dane są wierzchołki trójkąta : A=(2,2) B=(7,7) C=(10,3).Wyznacz długość trójkąta ABC opuszczonej z punktu C.

2. Punkt C=(1,−3) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC.Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta, wiedząc, ze należna one do prostej o równaniu y=−x+4.

1

Odpowiedzi

2009-12-17T00:46:13+01:00
Z.1
A = (2;2), B = (7;7), C = (10;3)

pr AB
y = ax + b
2 = 2a + b
7 = 7a + b
--------------
7-2 = 7a - 2a
5a = 5
a = 1
b = 2-2a = 2-2 = 0
pr AB ma równanie y = x
Szukamy równania pr CD prostopadłej do pr AB i przechodzącej
przez punkt C =(10;3) , czyli zawierającej wysokość h = CD
a*a1 = -1
1*a1 = -1
a1 = -1
y = -x + b , C = (10;3)
3 = -10 + b
b = 3 + 10 = 13
pr CD: y = -x + 13
Szukamy punktu przecięcia się prostych AB oraz CD , czyli
punktu D
y = x
y = -x + 13
------------------
2y = 13
y = 6,5
x = 6,5
D = (6,5 ; 6,5)
wektor CD = [6,5 - 10; 6,5-3] = [-3,5;3,5]
h² = ( -7/2)² + (7/2)² = 49/4 + 49/4 =98/4
h = √98/2 ≈ 4,9
h ≈ 4,9
z.2
C =(1;-3)
y = - x + 4
Szukamy równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta
równobocznego poprowadzoną z wierzchołka C.
a*a1 = -1
-1*a1 = -1
a1 = 1
y = x + b
-3 = 1 + b
b = -3-1 = -4
y = x - 4
--------------
Szukamy współrzędnych punktu D, takiego że CD = h.
y = -x + 4
y = x - 4
------------------
2y = 0
y = 0
x = y + 4 = 0+4 = 4
D = (4;0)
wektor CD = [4 -1, 0-(-3)] = [3,3]
h² = 3² + 3² = 2*9
h = 3 √2
a - długość boku tego trójkąta równobocznego
h = a√3/2
a√3 = 2h = 2*3 √2
a = [2*3 √2]: √3 = 2 √3*√2 = 2 √6
a/2 = √6
A = (x;y)
AD =[4-x,0-y] = [4-x;-y] = [4-x; x-4]
(4-x)² + (x - 4)² = 16 - 8x + x² + x² -8x +16 = 2x²-16x +32
2x² -16 x +32 = (√6)² = 6
x² - 8x + 13 = 0
Δ = 64 - 4*13 = 64 - 52 = 12 = 4*3
√Δ = 2 √3
x1 ={ 8 - 2 √3)/2 = 4 - √3
x2 =( 8 + 2 √3)/2 = 4 + √3
y1 = -(4 -√3) + 4 = √3
y2 = -(4 +√3) +4 = -√3
A = (4+√3;-√3)
B = (4 -√3;√3)
Łatwo sprawdzić, że
AB = 2 √6
BC = 2 √6
AC = 2 √6
czyli jest to trójkąt równoboczny.


1 5 1