Sposób na rozwiązywanie równań i nierówności? Da się to jakoś "łopatologicznie" wytłumaczyć?
np.:
a) 4x^3 + 8x^2 - x - 2 = 0
b) x^3 - 3x^2 + 4x - 12 =0

c) (5-x)(x^2+6x+8) <= 0
d) (x^3+8)(x^2-25)<0

^ - potęga
<= - mniejsze lub równe

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-19T17:38:09+01:00
Sprobujmy na tym:
a) 4x^3 + 8x^2 - x - 2 = =0

najpierw musimy znalezc liczbe dla ktorej prawdziwe jest to rownanie.... to znaczy ze to co mamy po lewej stronie rownania musi sie rownac 0!
szykamy tej liczby posrod dzielnikow wyrazu wolnego podzielonych przez dzielniki wyrazu przy najwyzszej potedze.....
juz pokazuje na przykladzie...bo to dosc glupio brzmi ;p
dzielniki wyrazu przy najwyzszej potedze (4) = 1, 2, 4
dzielniki wyrazu wolnego(2) = 1, 2
liczby wsrod ktorych szukamy rozwiazania:
1, 2, 1/2, 1/4, -1, -2, -1/2, -1/4
to chyba wszystkie.
ii teraz sprawdzmy np. 1
4*1^3 + 8*1^2 - 1 -2 = 9 no nie odpowiada nam ta liczba szukamy dalej...
to troche zmudne i ciezkie ale po kilku razach juz wiesz ktore sa bardziej prawdopodobne...
i dlatego ja sprawdze 1/2 bo wydaje mi sie ze pasuje:
4*1/8 + 8*1/4 -1/2 -2 = 0
tak znalezlismy ta liczbe!
czyli pierwszym rozwiazaniem naszego rownania jest 1/2
szukajac kolejnych mozemy uzyc dzielenia!
dany wielomian
4x^3 + 8x^2 - x - 2 =0 podzielimy przez (x-1/2) poniewaz zawsze bierze sie odwrotnosc miejsca zerowego odnalezionego ;d
dzielimy pisemnie
postaram sie to tutaj zrobic;p
4x^2 +10x + 4
__________________________
4x^3 + 8x^2 - x - 2 =0 : (x-1/2)
-4x^3 +2x^2
---------------
>>>>>>10x^2-x
>>>>>>-10x^2 +5x
>>>>>>-------------
>>>>>>>>>>>>>4x -2
>>>>>>>>>>>>>-4x +2
--------------------------
>>>>>>>>>>>>>>>0
jesli bedziesz miec jakies pytania do dzielenia to pisz na priv!

i teraz juz wiemy ze nasz wielomian
4x^3 + 8x^2 - x - 2 = (x-1/2)(4x^2+10x +4)
4x^3 + 8x^2 - x - 2 = 0 <=> (x-1/2)(4x^2+10x +4) = 0
a to z kolei jest postac iloczynowa rownania z ktorej najlatwiej odczytac miejsca zerowe
bo mnozenie czegos jest rowne 0 jesli jeden z czynnikow jest rowny zero ( 4*0*5*8 = 0 !)
(x-1/2)(4x^2+10x +4)=0 jezeli
(x-1/2)=0 lub (4x^2+10x +4) = 0
czyli
x = 1/2 lub 2x^2+5x +2 = 0
2x^2+5x +2 = 0
rozwiazujmy teraz zwykle rownanie kwadrotowe
liczymy delte i znajdujemy miejsca zerowe
Δ=25-16= 9
x = 2
lub x = 0,5
(x-1/2)(4x^2+10x +4)=0
jezeli x = 1/2 lub x = 2

b) x^3 - 3x^2 + 4x - 12 =0
sprawdzimy 3
27 -27 + 12 -12 = 0
jest trafione!
dzielimy przez (x-3)
pozwolisz ze dzilenie wykonam w glowie, gdybys sobie nie radzil to pisz pomoge z dzieleniem...
x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = (x-3)(x^2 +4)
(x-3)(x^2 +4)=0
x-3 = 0 lub x^2+4 = 0
x=3 lub x^2 = -4 <- takiego czegos dalej nie rozwiazujemy piszemy tylko ze jest to sprzecznosc....dzieje sie tak poniewaz zadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje liczby ujemnej!!!
czyli mamy jedno rozwiazanie = 3

co do nierownosci to najpierw postepujemy tak samo jak z poprzednimi a potem szkicujemy wykres i patrzymy gdzie jest ponizej a gdzie powyzej osi x ale to za chwile ...

c)(5-x)(x^2+6x+8) <= 0
x = 5 lub x^2+6x+8 = 0
delta = 36-32 = 4
x = 4
lub x= -2
mamy nastepujace miejsca zerowe: -2,4, 5
rysujesz sobie oś x, zaznaczasz na niej dane miejsca zerowe, i teraz patrzysz jaki znak (+ czy - ) stoi przy najwyzszej potedze....no pomyslmy...z tego zapisu mozesz tego nie widziec, wiec sobie pomnoz
5x^2 + 30x +40 -x^3 -6x^2 -8x =0
interesuje nas najwyzsza potega czyli wyraz podniesony do 3 potegi.... stoi przy nim -1
co znaczy ze zaczynamy rysowac naszy wykres od dolu od prawej strony!
i w miejscu zerowym przechodzimy nad os itd. zalacze rysunek.

wielomian ma byc mniejszy rowny 0 wiec rozwiazanie wyglada tak: x∈<-2,4>w sumie<5,∞)




d) (x^3+8)(x^2-25)<0
x^3 = -8 lub x^2 = 25
x = -2 lub x =5 lub x = -5

rysujemy
tutaj najwyzsza potega wyjdzie x^5 i bedzie ze znakiem +
wiec zaczynamy od prawej strony od gory i jedziemy w lewo....
x∈(-nieskonczonosci, -5)w sumie(-2,-5)

gdyby w nierownosci zdarzylo sie miejsce zerowe podwojne jak w rownaniu pierwszym to wtedy odbijamy sie od osi a nie przechodzimy....
1 5 1