ZADANIA Z CIAGÓW Z GÓRY THX ZA ROZWIAZANIE ;)
zad.1
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 8 są kolejnymi wyrazami pewnego rosnacego ciagu arytmetycznego.
a) zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciagu.
b) Oblicz ile wyrazów ma ten ciąg.
C) oblicz sumę jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu
zad2.
Jaś przeczytał kryminał w ciągu 11 dni, przy czym każdego dnia czytał o taka samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miał ten kryminał, seśli wiadomo żeaś w trzecim dniu przeczytał 21 stron, a w ostatnim 69?

zad.3
Dany jest wzór ciągu (an): a1=1
a2=4
an+2=4n-1(n-1 po prawe górze) +an + an+1(w indeksie)
n należy do N+
Wyznacz czwarty wyraz tego ciagu.
zad.4
Suma n-poczatkowych wyrazów ciagu (an) jest oblicznana ze wzoru Sn=n2( 2 u gory) +6n dla n należacy do N+. Wyznacz an oraz wykaż, że (an) jest ciagiem arytmetycznym.

1

Odpowiedzi

2009-12-20T15:05:37+01:00
Z.1 a)
an = 8*(n+1)
b) 8*(n+1) < 100
8n +8 < 100
8n< 92
n < 11,5
n = 11
c) a1 = 16
a2 = 8*(2+1) = 24
r = a2 - a1 = 24 - 16 = 8
a11 = a1 + 10r = 16 + 10*8 = 96
S11 ={ [a1 + a11}*n}/2 = {[16 + 96]*11}/2 = [112*11]/2 = 1232/2 =616
z.2
a3 =21
a11 = 69
a3 = a1 + 2r = 21
a11 = a1 + 10 r = 69
------------------
(a1 + 10 r) - (a1 +2r) = 8r = 69 - 21 = 48
8r = 48 ----------> r = 48 : 8
r = 6
a1 + 2*6 = 21
a1 = 21 - 12 = 9
S11 = {[a1 + a11] *11}/2 = {[21 + 69]*11}/2 = [90*11]/2 =
= 990 /2 = 495
Odp.Ten kryminał miał 495 stron.
z.3
a1 = 1
a2 = 4
an+2 = 4n -1^(n-1) + an + an+1
a3 = 4 -1 + 1 + 4 = 8
a4 = 4*2 - 1^(2-1) + 4 + 8 = 8 -1 + 4 + 8 = 19
Odp. a4 = 19 ( o ile dobrze rozszyfrowałem wzór na an+2}.
z.4
Sn = n² + 6n , dla n ∈N+
Sn = a1 + a2 + a3 + .... + an-1 + an
Sn-1 = a1 + a2 +a3 + an-1. czyli
Sn - Sn-1 = an
Sn-1 = (n-1)^2 + 6*(n-1) = n² -2n + 1 + 6n -6 = n²+ 4n - 5
Sn = n² +6n
an = Sn - Sn-1 =( n² +6n ) - (n²+4n -5) = 2n + 5
an = 2n + 5
an+1 = 2*(n+1) + 5 = 2n +2 + 5 = 2n + 7
r = an+1 - an =( 2n + 7 ) - ( 2n + 5) = 2
a1 = 2*1 + 5 = 7
Odp. Jest to ciąg arytmetyczny o a1 = 7 i różnicy r= 2.