Odpowiedzi

2009-12-23T11:02:13+01:00
Liczby x-1,x+8,x-10 tworza ciag geometryczny dla:
A.x=3, B.x=2, C.-3, D.-2
A.x=3 B.x=2 C.x=-3 D. x=-2
3-1=2 2-1=1 -3-1=-4 -2-1=-3
3+8=11 2+8=10 -3+8=5 -2+8=6
3-10=-7 2-10=-8 -3-10=-13 -2-10=-12

an=a1*q^n-1
q=6/-1=-2
a1=-3
a2=-3*(-2)^2-1+6
a3=-3*(-2)^3-1=-3*4=-12
Odp.D


2.Suma 5 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,w którym a1=1,q=2,wynosi:
s5=1*1-2^5/1-2
s5=1*1-32/-1=31
Odp:32

3.Dany jest ciag geometryczny w ktorym a1=128,q=-1/2.szosty wyraz tego ciagu jest rowny:
a1=128,q=-1/2
an=a1*q^n-1
a6=128*(-1/2)^6-1=128*(-1/2)^5=128*(-1/32)=-4


  • Użytkownik Zadane
2009-12-23T14:22:37+01:00
Zad.1
Znajdz cztery liczby, z ktorych pierwsze trzy tworza ciag geometryczny a ostatnie trzy ciag arytmetyczny. Wiedzac, ze suma liczb skrajnych rowna jest 14 a srodkowych 12.


odp:a1 + a4= 14
a2 + a3= 12

a3= a1q^2 , a3= a2 + r
a1q^2 = a2 + r
a1q^2 = a1q + r
r= a1q^2 - a1q
---------------

a2 + a2 + r = 12
2a2 + r = 12
r= 12 - 2a2 , a2= a1q >>> r= 12 - 2a1q
-------------

a1 + a4 = 14
a1 + a2 + 2r = 14
a1 + a2 + 2(12 - 2a1q) = 14
a1 - 3a1q = -10
a1(1 - 3q) = -10
a1= -10/(1-3q)
-------------

Podstawienie a1 do rownania a1q + a1q^2 = 12

-10q/(1-3q) - 10q^2/(1-3q) - 12 = 0
-10q -10q^2 -12(1-3q) = 0
-10q^2 + 26q -12 = 0
Delta = 196, sqrt(delta) = 14
q1= 2
q2= 3/5

Odp.
Dla q=2 mamy ciag 2, 4 , 8 , 12 , gdzie r=4
dla q= 3/5 ciag 50/4, 30/4 , 18/4 , 6/4 , gdzie r = -3





zad.2
Skonczony ciag arytmetyczny ma 11 wyrazow: pierwszy wyraz jest rowny 24. Pierwszy, piaty i jedenasty wyraz tworza ciag geometryczny. Oblicz sume ciagu arytmetycznego.

Odp:
oznaczając przez a(n) n-ty wyraz ciągu, i r=a(n+1)-a(n) musimy obliczyć sumę od k=1 do 11: a(k)=suma od k=1 do 11: a(1)+(k-1)*r. r wyznaczamy z warunków zadania korzystając z właściwości ciągu geometrycznego: iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały. a więc: a(5)/a(1)=a(11)/a(5) => a(5)^2=a(1)*a(11) => (24+4*r)^2=24*(24+10*r) => r=3.
teraz możemy już obliczyć sumę:
suma od k=1 do 11:a(1)+(k-1)*r=11*a(1)+r*(1+2+...+10)
korzystamy tutaj ze wzoru: (1+2+...+n)=n(n+1)/2
11*24+3*10*11/2=11*(24+15)=11*39=390+39=429



zad.3
Pomiedzy liczby 2 i 30 wstaw dwie liczby w taki sposob, aby trzy pierwsze utworzyly ciag geometryczny a trzy ostatnie ciag arytmetyczny.

Odp:
2 , x , y , 30

2y= x^2
x + 30 = 2y

x^2= x + 30
x^2 - x - 30= 0
Delta= 121, Sqrt(del)=11

x1= -5, y1= 12.5
x2= 6, y2= 18

Pierwszy ciag: 2, -5, 12.5, 30 .... q=-5/2, r= 17.5
Drugi ciag: 2, 6, 18, 30 .... q= 3 , r=12

2 5 2