WZÓR SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Zadań jest dużo dlatego aż 100ptk za ich rozwiązanie. Liczę na pełnie rozwiązania zadań. Najlepiej jakby ktoś dodał wszystkie rozwiązania w załączniku,enjoy math!
Zadanie 1.
Z kwadratu o boku a wycięto cztery kwadraty o boku b, w sposób przedstawiony na rysunku w załączniku. Jaką długość mają boki prostokąta którego pole jest równe polu otrzymanej figury?

Zadanie 2.
Dany jest prostokąt o bokach a i b. Jeden bok prostokąta zmniejszono o 8, a drugi zwiększono o 4. Pole nowego prostokąta jest mniejsze od pola prostokąta o 40. Jakiej długości były boki pierwszego prostokąta jeżeli wiemy, że były one liczbami naturalnymi?
Zadanie 3.
W kwadracie o boku a zmniejszono przeciwległe boki o połowę i otrzymano prostokąt o bokach a i 1/2a. Obwód prostokąta jest o 8 mniejszy od obwodu kwadratu. Jaką długość mają boki prostokąta?
Zadanie 4.
Dany jest prostokąt o bokach a i b. Dwa boki tego prostokąta zmniejszono o 5 cm i otrzymano prostokąt o bokach a-5 i b. Pole mniejszego prostokąta jest o 50cm^ mniejsze od pola tego prostokąta. Jaką długość mogą mieć boki mniejszego prostokąta, jeżeli wiadomo, że jeden jego bok jest dwa razy dłuższy niż drugi?
Zadanie 5.
W sadzie rosło c rzędów drzew po d drzew w każdym. Nowe drzewa posadzono tak, że w sadzie jest teraz o 10 rzędów więcej, a w każdym rzędzie są o 3 drzewa więcej niż poprzednio. Ile drzew posadzono?
Zadanie 6.
Na pewne przedstawienie cyrkowe sprzedano a biletów po b złotych. Następnego dnia ceny obniżono o 2 złote, a występ przyszło zobaczyć o 30 osób więcej niż dzień wcześniej. Ile pieniędzy uzyskał cyrk ze sprzedaży biletów na oba przedstawienia?
Zadanie 7.
W podręczniku z matematyki jest s stron, a na każdej stronie średnio t linijek tekstu. W podręczniku do języka polskiego jest o 20 stron więcej, a na stronie mieści się średnio 7 linijek tekstu więcej niż w podręczniku do matematyki. Ile wynosi różnica między liczbą linijek w obu podręcznikach?
Zadanie 8.
Wojtek ma x pudełek po x zapałek. Maciek ma o trzy pudełka mniej, ale w każdym ma o jedną zapałkę więcej niż w pudełku Wojtka. Ania ma o jedno pudełko więcej od Wojtka, ale w każdym jej pudełku jest o trzy zapałki mniej niż w jego pudełku. Ile zapałek ma Wojtek, ile Maciek, a ile Ania? Kto z nich ma najwięcej zapałek?
Zadanie 9.
Na podłodze w kształcie kwadratu leży kwadratowy dywan. Z każdej strony odległość między brzegiem dywanu a brzegiem podłogi wynosi 1m. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego pole powierzchni podłogi nie przykrytej dywanem, wiedząc, że:
a) bok podłogi ma długość x metrów,
b) bok dywanu ma długość x metrów

Zadanie 10.
Na powierzchni jeziora rozlała się plama oleju i przyjęła kształt koła. Jeśli ratownikom uda się zmniejszyć promień plamy o 2m, to jej powierzchnia zmniejszy się o 20π m^. Jakie jest promień plamy oleju?
Zadanie 11.
Z kwadratowej kartki papieru odcięto pasek o szerokości 3,6cm i otrzymano prostokąt, którego pole jest równe polu kwadratu o boku o 2cm krótszym od boku kwadratowej kartki. Jaką długość miał bok kwadratowej kartki?
Zadanie 12.
a) Dany jest kwadrat o boku a. Gdy każdy bok kwadratu zwiększono o 5 otrzymano kwadrat o polu większym o 55 od pola poprzedniego kwadratu. Jaka była długość boku pierwszego kwadratu?
b) Dany jest kwadrat o boku x. Gdy każdy bok kwadratu zmniejszono o 4, otrzymano kwadrat o polu mniejszym o 32 cal pola kwadratu o boku x. Jaka była długość boku mniejszego kwadratu?
Zadanie 13.
a) Mamy trzy kwadraty. Największy ma boki o 10 dłuższe od średniego, a najmniejszy o 10 krótsze od średniego kwadratu. Różnica pól między największym a najmniejszym kwadratem wynosi 1000. Jakie długości mają boki tych kwadratów?
b) Dany jest kwadrat o boku a. Gdy każdy bok kwadratu zwiększono o b, pole nowego kwadratu zwiększyło się o 24. Jakiej długości były boki najmniejszego kwadratu, a jakiej większego, jeżeli wiadomo, że były to liczby naturalne?
Zadanie 14.
Gdy długość boku kwadratu zwiększono o 6cm, wtedy jego pole zwiększyło się o 132cm^. Jakiej długości był bok pierwszego kwadratu?
Zadanie 15.
a) W kwadracie jeden jego bok zwiększono o 7, a drugi skrócono o 7 otrzymując prostokąt. O ile pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu?
b) Dany jest kwadrat o boku x. Jeżeli jeden jego bok skrócimy o 8 a drugi zwiększymy o 8 to otrzymamy prostokąt o polu 36. Jakie jest pole kwadratu? Jaka jest długość boku kwadratu?
Zadanie 16.
Zapisz i rozwiąż odpowiednie równania:
a) Kwadrat liczby o 8 większej od liczby x jest równy kwadratowi liczby x.
b) Jeśli zmniejszymy liczbę x o 8, jej kwadrat zmniejszy się o 15.
c) Iloczyn liczby x i liczby 4razy od niej większej jest równy kwadratowi sumy liczby x i liczby 2 od niej mniejszej.
d) Iloczyn liczby o 3 mniejszej od liczby x i liczby o 3 większej od x równy jest iloczynowi liczby x i liczby o 6 od niej mniejszej.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-12-28T14:32:49+01:00
Zadanie 1.
Z kwadratu o boku a wycięto cztery kwadraty o boku b, w sposób przedstawiony na rysunku w załączniku. Jaką długość mają boki prostokąta którego pole jest równe polu otrzymanej figury?

P = a² - 4b² = (a - 2b)(a + 2b)
a - 2b - jeden bok
a + 2b - drugi bok


Zadanie 2.
Dany jest prostokąt o bokach a i b. Jeden bok prostokąta zmniejszono o 8, a drugi zwiększono o 4. Pole nowego prostokąta jest mniejsze od pola prostokąta o 40. Jakiej długości były boki pierwszego prostokąta jeżeli wiemy, że były one liczbami naturalnymi?

a*b - stare pole
(a - 8)(b + 4) - nowe pole => a > 8

(a - 8)(b + 4) + 40 = ab
ab - 8b + 4a + 40 = ab
2b = a + 10

a = 12
b = 11


Zadanie 3.
W kwadracie o boku a zmniejszono przeciwległe boki o połowę i otrzymano prostokąt o bokach a i 1/2a. Obwód prostokąta jest o 8 mniejszy od obwodu kwadratu. Jaką długość mają boki prostokąta?

4a - obwód kwadratu
2*a + 2*½*a = 3a - obwód prostokąta

3a + 8 = 4a
a = 8

boki prostokąta to
a = 8 i ½a = 4


Zadanie 4.
Dany jest prostokąt o bokach a i b. Dwa boki tego prostokąta zmniejszono o 5 cm i otrzymano prostokąt o bokach a-5 i b. Pole mniejszego prostokąta jest o 50cm^ mniejsze od pola tego prostokąta. Jaką długość mogą mieć boki mniejszego prostokąta, jeżeli wiadomo, że jeden jego bok jest dwa razy dłuższy niż drugi?

a*b - pole większego prostokąta
(a - 5)*b - pole mniejszego prostokąta

a*b = (a - 5)*b + 50
ab = ab - 5b + 50
b = 10

a - 5 = ½b lub a - 5 = 2b
a = 10 lub a = 25


Zadanie 5.
W sadzie rosło c rzędów drzew po d drzew w każdym. Nowe drzewa posadzono tak, że w sadzie jest teraz o 10 rzędów więcej, a w każdym rzędzie są o 3 drzewa więcej niż poprzednio. Ile drzew posadzono?

d*c - stare drzewa
(c + 10)(d + 3) - liczba wszystkich drzew po dosadzeniu

(c + 10)(d + 3) - dc = dc + 10d + 3c + 30 - dc = 10d + 3c + 30
dosadzono 10d + 3c + 30 drzew


Zadanie 6.
Na pewne przedstawienie cyrkowe sprzedano a biletów po b złotych. Następnego dnia ceny obniżono o 2 złote, a występ przyszło zobaczyć o 30 osób więcej niż dzień wcześniej. Ile pieniędzy uzyskał cyrk ze sprzedaży biletów na oba przedstawienia?

a*b + (a + 30)*(b - 2) = ab + ab + 30b - 2a - 60 = 2ab + 30b - 2a - 60


Zadanie 7.
W podręczniku z matematyki jest s stron, a na każdej stronie średnio t linijek tekstu. W podręczniku do języka polskiego jest o 20 stron więcej, a na stronie mieści się średnio 7 linijek tekstu więcej niż w podręczniku do matematyki. Ile wynosi różnica między liczbą linijek w obu podręcznikach?

(s + 20)(t + 7) - st = st + 20t + 7s + 140 - st = 20t + 7s + 140


Zadanie 8.
Wojtek ma x pudełek po x zapałek. Maciek ma o trzy pudełka mniej, ale w każdym ma o jedną zapałkę więcej niż w pudełku Wojtka. Ania ma o jedno pudełko więcej od Wojtka, ale w każdym jej pudełku jest o trzy zapałki mniej niż w jego pudełku. Ile zapałek ma Wojtek, ile Maciek, a ile Ania? Kto z nich ma najwięcej zapałek?

Wojtek
x*x = x²

Maciek
(x - 3)(x + 1) = x² - 3x + x - 3 = x² - 2x - 3

Ania
(x - 3 + 1)(x + 1 - 3) = (x - 2)(x - 2) = x² - 4x + 4

Od razu widać, że najwięcej zapałek ma Wojtek.


Zadanie 9.
Na podłodze w kształcie kwadratu leży kwadratowy dywan. Z każdej strony odległość między brzegiem dywanu a brzegiem podłogi wynosi 1m. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego pole powierzchni podłogi nie przykrytej dywanem, wiedząc, że:
a) bok podłogi ma długość x metrów,

od powierzchni podłogi trzeba odjąć powierzchnię dywanu
x² - (x - 1)² = (x - x + 1)(x + x - 1) = 2x - 1

b) bok dywanu ma długość x metrów

(x + 1)² - x² = (x + 1 - x)(x + 1 + x) = 2x + 1


Zadanie 10.
Na powierzchni jeziora rozlała się plama oleju i przyjęła kształt koła. Jeśli ratownikom uda się zmniejszyć promień plamy o 2m, to jej powierzchnia zmniejszy się o 20π m^. Jakie jest promień plamy oleju?

πr² - π(r - 2)² = 20π
r² - (r - 2)² = 20
(r - r + 2)(r + r - 2) = 20
2(2r - 2) = 20
4r - 4 = 20
r = 6


Zadanie 11.
Z kwadratowej kartki papieru odcięto pasek o szerokości 3,6cm i otrzymano prostokąt, którego pole jest równe polu kwadratu o boku o 2cm krótszym od boku kwadratowej kartki. Jaką długość miał bok kwadratowej kartki?

a - bok kwadratowej kartki

(a - 2)² = a(a - 3,6)
a² - 4a + 4 = a² - 3,6a
4 = 0,4a
4a = 40
a = 10


Zadanie 12.
a) Dany jest kwadrat o boku a. Gdy każdy bok kwadratu zwiększono o 5 otrzymano kwadrat o polu większym o 55 od pola poprzedniego kwadratu. Jaka była długość boku pierwszego kwadratu?

a² + 55 = (a + 5)²
a² + 55 = a² + 10a + 25
10a = 30
a = 3


b) Dany jest kwadrat o boku x. Gdy każdy bok kwadratu zmniejszono o 4, otrzymano kwadrat o polu mniejszym o 32 cal pola kwadratu o boku x. Jaka była długość boku mniejszego kwadratu?

zakładamy, że wszystkie dane są w tej samej jednostce (jak ma być inaczej napisz na pw, to zmienię)

(x - 4)² + 32 = x²
x² - 8x + 16 + 32 = x²
x = 6


Zadanie 13.
a) Mamy trzy kwadraty. Największy ma boki o 10 dłuższe od średniego, a najmniejszy o 10 krótsze od średniego kwadratu. Różnica pól między największym a najmniejszym kwadratem wynosi 1000. Jakie długości mają boki tych kwadratów?

a - bok średniego kwadratu
a + 10 - bok największego kwadratu
a - 10 - bok najmniejszego kwadratu

(a + 10)² - (a - 10)² = (a + 10 + a - 10)(a + 10 - a + 10) = 2a*20 = 40a


b) Dany jest kwadrat o boku a. Gdy każdy bok kwadratu zwiększono o b, pole nowego kwadratu zwiększyło się o 24. Jakiej długości były boki najmniejszego kwadratu, a jakiej większego, jeżeli wiadomo, że były to liczby naturalne?

a² + 24 = (a + b)²
a² + 24 = a² + 2ab + b²
2ab + b² = 24
b(2a + b) = 24

a = 1
b = 4


Zadanie 14.
Gdy długość boku kwadratu zwiększono o 6cm, wtedy jego pole zwiększyło się o 132cm^. Jakiej długości był bok pierwszego kwadratu?

a - bok kwadratu

(a + 6)² = a² + 132
a² + 12a + 36 = a² + 132
12a = 96
a = 8


Zadanie 15.
a) W kwadracie jeden jego bok zwiększono o 7, a drugi skrócono o 7 otrzymując prostokąt. O ile pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu?

a - bok kwadratu

(a - 7)(a + 7) - a² = a² - 49 - a² = -49
pole prostokąta jest o 49 mniejsze od pola kwadratu

b) Dany jest kwadrat o boku x. Jeżeli jeden jego bok skrócimy o 8 a drugi zwiększymy o 8 to otrzymamy prostokąt o polu 36. Jakie jest pole kwadratu? Jaka jest długość boku kwadratu?

(x + 8)(x - 8) = 36
x² - 64 = 36
x² = 100
(x - 10)(x + 10) = 0
x = 10 lub x = -10
x = 10 (geometria, nie moż być ujemne)

Zadanie 16.
Zapisz i rozwiąż odpowiednie równania:
a) Kwadrat liczby o 8 większej od liczby x jest równy kwadratowi liczby x.

(x + 8)² = x²
(x + 8)² - x² = 0
(x + 8 - x)(x + 8 + x) = 0
8(2x + 8) = 0
2x = -8
x = -4

b) Jeśli zmniejszymy liczbę x o 8, jej kwadrat zmniejszy się o 15.

(x - 8)² + 15 = x²
x² - 16x + 64 + 15 = x²
16x = 79
x = 4 i 15/16

c) Iloczyn liczby x i liczby 4razy od niej większej jest równy kwadratowi sumy liczby x i liczby 2 od niej mniejszej.

x*4x = (x + x - 2)²
4x² = (2x - 2)²
4x² = 4x² - 8x + 4
x = ½

d) Iloczyn liczby o 3 mniejszej od liczby x i liczby o 3 większej od x równy jest iloczynowi liczby x i liczby o 6 od niej mniejszej.

(x - 3)(x + 3) = x(x - 6)
x² - 9 = x² - 6x
6x = 9
x = ⅔


jak coś jest niejasne pisz na pw, uściślę
19 4 19