Odpowiedzi

2009-12-29T02:12:18+01:00
Funkcja określona na przedziale R - {1}, czyli każda liczba z wyjątkiem x=1.
Granica w punkcie nieciągłości z obu stron wynosi +∞ z uwagi na zawsze dodatnią wartość mianownika i dodatni licznik. W punkcie x=1 jest asymptota pionowa o równaniu x=1.
Jedynym miejscem zerowym jest x=0.
Pochodna funkcji wynosi:
y'(x) = [3x²(x-1)² - x³ * 2(x-1)] / (x-1)⁴ = [3x²(x-1) - 2x³] / (x-1)³ =
(x³ - 3x²) / (x-1)³ = x²(x -3) /(x-1)³
Pochodna przyjmuje wartość 0 dla x=0 lub x=3.
Druga pochodna:
y''(x) = 2x(x²-3x+3) / (x-1)⁴
y''(0) = 0 - tu jest punkt przegięcia (pierwsza pochodna w pobliżu zera nie zmienia znaku, lecz jest dodatnia w przedziale (-∞; 1), tzn y(x) rośnie).
Natomiast zmienia znak druga pochodna: dla x<0 jest ujemna, czyli wklęsła, a dla x>0 wypukła. Prosta styczna w punkcie przegięcia to y=0.
y&#39;&#39;(3) > 0 - czyli dla x=3 jest minimum lokalne, tzn. w przedziale (1; 3> y(x) maleje, a w przedziale <3;+∞) rośnie. y(3) = 27/4 = 6,75
Funkcja posiada także asymptotę ukośną ax+b, której współczynnik kierunkowy "a"można wyliczyć z granicy ilorazu funkcji y(x)/x dla x→±∞
a=1, natomiast b=lim[y(x) - ax] dla x→±∞ Czyli b=0
Tak więc asymptota ukośna ma równanie y=x i jest wspólna dla ±∞
Funkcja nie posiada ekstremów (czyli minimów lub maksimów) globalnych.


W załączniku wykres w pliku *.jpg, ale coś nie chce się prawidłowo otwierać (chyba kaczan na stronie).