Funkcja kwadratowa f przyjmuje największą wartosc równą 3⅕ (3 i jedna piąta), a zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (-5;3). Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokosci przeciwleglych scian bocznych poprowadzone z wierzcholka ostrosłupa są do siebie prostopadłe.
a) Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
b) Jakim procentem objętości sześcianu, którego krawędź ma dł. równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa jest objętośc tego ostrosłupa?

1

Odpowiedzi

2009-12-29T03:28:21+01:00
1. Funkcja kwadratowa ma wzór:
y(x) = ax² + bx +c i można ją przekształcić do tzw. postaci kanonicznej:
y(x) = a(x-p)²+q, (p;q)=współrzędne wierzchołka paraboli (wykresu funkcji).
Funkcja ma miejsca zerowe dla x=-5 i x=3, więc jej maksimum wypadnie w połowie przedziału (3 + (-5))/2=-1 - wynika to z symetrii paraboli.
Tak więc funkcja ma postać y=a(x+1)²+3,2
współczynnik można wyliczyć podstawiając któreś z miejsc zerowych:
0 = a(3+1)²+3,2 skąd a=-0,2
Tak więc równanie ma postać y=-0,2(x+1)²+3,2 lub y=-0,2x²-0,4x+3
Inny sposób: równanie funkcji kwadratowej o znanych miejscach zerowych jest następujące:
y=a(x-x₁)(x-x₂), czyli u nas: y=a(x+5)(x-3)=ax²+2ax-15a
pochodna y'(x)=2ax+2a=2a(x+1) i jest równa 0 dla x=-1 (warunek konieczny maksimum lub minimum). Po podstawieniu x=1 i y=3,2 wyliczamy a=-0,2

2.
a)Przekrój przechodzący przez dane wysokości jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, tak więc kąt przy podstawie wynosi 45°, a sinus √2/2.
b) Objętość ostrosłupa V₀=⅓ P h, P=pole podstawy, h=wysokość ostrosłupa.
W naszym wypadku ostrosłup o podstawie "a", ma wysokość równą połowie podstawy: h=a/2*tg 45°=a/2*1, więc V₀=⅓*a²*a/2=⅙ a³
Objętość sześcianu Vs=a³
Szukany procent: p=V₀/Vs=1/6 ≈ 17%
1 5 1