Zad.1.
Średnicą okręgu jest odcinek AB.Napisz równanie tego okręgu,gdy:
a) A(-3;6) B(1;-2)
b) A(-5;-2) B(3;8)
c) A(2;7) B(4;-3)
d) A(11;9) B(5;3)

zad.2.
Dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu ABCD to punkty A=(3;-2) i C=(-1;2)
Napisz równanie okręgu wpisanego i opisanego na tym kwadracie.

zad.3.
Napisz wnanie okręgu opisanego na kwadracie,gdy:
a) A=(1;1) B=(7;1) C=(7;7) D=(1;7)
b) A=(-2;-2) B=(2;-2) C=(2;2) D=(-2;2)
c) A=(0;6) B=(2;0) C=(8;2) D=(6;8)
d) A=(4;-7) B=(8;-3) C=(4;1) D=(0;-3)

zad.4.
Napisz wnanie okręgu opisanego na trójkącie ABC,gdy:
a) A=(-1;-1) B=(0;-2) C=(8;2)
b) A=(1;0) B=(1;8) C=(5;4)
c) A=((0;0) B=(2;1) C=(-1;2)
d) A=(0;5) B=(2;-1) C=(-4;-3)

1

Odpowiedzi

2009-12-30T01:59:57+01:00
Zad.1
a) A(-3;6) B(1;-2)
xa=-3, ya=6, xb=1, yb=-2
wyznaczam współrzędne środka odcinka AB ze wzoru
S=((xa+xb)/2,(ya+yb)/2)
S=((-3+1)/2,(6-2)/2)= (-1,2)

potrzebuje jeszcze promienia, wyznaczam go na podstawie: |AS|=pierwiastek((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
x2=-1,x1=-3,y1=2,y2=6 (to biorę z punktu A i punktu S)

|AS|=pierwiastek(2^2+4^2)=pierwiastek(20)=2pierwiastki (5)

ogólna postać równania okręgu:
(x-x1)^2+(y-y1)^2=r^2
podstawiając:
(x+1)^2+(y-2)^2=(2pierwiastek(5))^2
(x+1)^2+(y-2)^2=20

Analogicznie liczy się pozostałe punkty:)

zad.2
A=(3;-2), C=(-1;2)
a) najpierw wyznaczymy równanie okręgu opisanego
1. wyznaczam długość przekątnej |AC|
|AC|=pierwiastek((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
|AC|=pierwiastek((3+1)^2+(-2-2)^2)=pierwiastek (32)= =4 pierwiastki (2)

r=1/2|AC|=2 pierwiastki (2)

2.wyznaczenie współrzędnych środka okręgu
S=((3-1)/2,(-2+2)/2)= (1,0)

równanie okręgu opisanego: (x-1)^2+(y)^2=(2pierwiastki(2))^2
(x-1)^2+(y)^2=8
b) środek okręgu opisanego i wpisanego pokrywają się
wyznaczyć trzeba promień tego okręgu, zatem posłużę się tw. Pitagorasa

|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2
|AB|=|BC|
2|AB|^2=32
|AB|^2=16
|AB|=4

r=1/2|AB|=2

równanie okręgu wpisanego: (x-1)^2+(y)^2=2^2
(x-1)^2+(y)^2=4

zad.3
To zadanie liczy się analogicznie jak punkt a) w zadaniu 2 (pamiętaj aby brać 2 przeciwległe wierzchołki)

zad.4

Podczas tego zadania posłużymy się tym iż w równaniu na okrąg mamy 3 niewiadome x1, y1, r, i możemy napisać 3 równania na podstawie punków A,B,C
(x-x1)^2+(y-y1)^2=r^2

a) A=(-1;-1) B=(0;-2) C=(8;2)

(-1-x1)^2+(-1-y1)^2=r^2
(-x1)^2+(-2-y1)^2=r^2
(8-x1)^2+(2-y1)^2=r^2

2+2x1+2y1+x1^2+y1^2=r^2
x1^2+4+4y1+y1^2=r^2= 2+2x1+2y1+x1^2+y1^2 (z 1 równania)
64-16x1+x1^2+4-4y1^2+y1^2=r^2= 2+2x1+2y1+x1^2+y1^2 (z 1)

2+2y1-2x1=0
66-18x1-6y1=0

x1=3
y1=2
r=5

(x-3)^2+(y-2)^2=5^2
(x-3)^2+(y-2)^2=25

Analogicznie pozostałe przykłady:)