ZADANIE1
W trapezie ABCD, ABIICD mamy dane : IABI=12cm, ICDI=7cm, IADI=8cm. O ile należy wydłużyć ramię AD aby przecięło się z przedłużeniem ramienia BC?(obliczenia, rysunek)
ZADNIE2
W trójkącie ABCD wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości IADI=4cm i IDBI=10cm. Bok ma 16 cm długości. Wyznacz długości odcinków, na jakie symetralna boku AB podzieli bok BC.(obliczenia, rysunek)
ZADANIE3
W równoległobok o przekątnych długości22 cm i 18 cm wpisano romb tak że jego boki są równoległe do przekątnych równoległoboku. Oblicz długość boku rombu.(obliczenia, rysunek)

1

Odpowiedzi

2010-01-01T02:00:36+01:00
Zadanie1:
Klasyczne zadanie na twierdzenie Talesa, a oto rysunek: http://img705.imageshack.us/i/tales.png

Tak więc prawdziwa jest równość, że a/7=(a+8)/12 i mnożąc na ukos mamy, że: 12a=7a+56 --> 5a=56 --> a=11,2

Zadanie 2:
Jest pomyłka w treści zadania... winno być w trójkącie ABC. Poza tym "Bok ma 16 cm długości." - który bok?
Jedno z możliwości:
http://img694.imageshack.us/i/tales2.png/

obliczmy wysokość CD:
4²+CD²=16²
16+CD²=256
CD²=240
CD=√240=√16*15=4√15

Poza tym przecięcie symetralnej z bokiem AB oznaczmy jako E, a z bokiem BC jako F. Wygląda to tak:
http://img694.imageshack.us/i/tales3.png/

możemy bez większych problemów obliczyć długość EF, gdyż:
|AE|=7 oraz |EB|=7 (jest to w końcu symetralna boku o długości 14) i tak:
7/EF=10/4√15
znów na krzyż i mamy:
28√15=10EF --> EF=2,8√15

Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy bok FB:
7²+(2,8√15)²=FB² --> 49+117,6=FB² --> FB²=166,6 --> FB=√166,6

znów z Talesa obliczymy CF:
EB/FB=DE/CF
7/√166,6=3/CF
7CF=3√166,6
CF=3√166,6/7

symetralna boku AB dzieli odcinek CB na odcinki długości: 3√166,6/7 oraz √166,6

Zadanie 3:
Rysunek: http://img709.imageshack.us/i/rownoleglobokb.png/

Łatwo widać, że punkt O, który jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku jest także punktem przecięcia przekątnych rombu. Dodatkowo widzimy, że ½a=11-x oraz ½a=9-y

z podobieństwa (kkk) trójkątów ΔACB≈ΔEFB jesteśmy wstanie wskazać, że:
a/22=x/9

i mamy układ równać:
½a=9-y
a/22=y/9

a=18-2y
a/22=y/9

drugie równanie możemy przekształcić jako 9a=22y i teraz:
a=18-2y
9a=22y

9a=22y
9(18-2y)=22y
162-18y=22y
40y=162
y=4,05

i liczymy a:
a=18-2y
a=18-8,1=9,9