Dane są długości boków trójkąta równoramiennego:
a). 25cm, 25cm, 14cm
b). 13cm, 13cm, 24cm
c). 17cm, 17cm, 30cm
d). 61cm, 61cm, 120cm

Sprawdź, czy dany trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.


Proszę o pomoc ;)

1

Odpowiedzi

2010-01-02T17:02:05+01:00
Najprościej z twierdzenia cosinusów, które wygląda następująco:
c²=a²+b²-2ab*cosγ

gdzie γ to kąt na przeciwko boku najdłuższego c (a pierwszym przypadku to któryś z dwóch 25cm) - co chcemy wyliczyć... można by przekształcić wzór pod zadanie (by liczyć kąt):

c²-a²-b²=-2ab*cosγ ||*(-1)
a²+b²-c²=2ab*cosγ
cosγ=(a²+b²-c²)/2ab

no i lecimy:
a)
cosγ=(14²cm²+25²cm²-25²cm²)/2*14cm*25cm
cosγ=196cm²/700cm²
cosγ=0,28

z tabeli funkcji trygonometrycznych możemy sczytać, że to kąt mniej więcej 73⁰, a że to trójkąt równoramienny to jeszcze jeden ma 73⁰... trzeci też ma poniżej 50⁰ na pewno więc mamy trójkąt ostrokątny


b)
cosγ=(13²cm²+13²cm²-24²cm²)/2*13cm*13cm
cosγ=-238cm²/338cm²
cosγ=-0,67

jeśli cos wyszedł ujemny to mamy do czynienia z trójkątem rozwartokątnym (nawet nas kąty nie obchodzą)

c)
cosγ=(a²+b²-c²)/2ab
cosγ=(17²cm²+17²cm²-30²cm²)/2*17cm*17cm
cosγ=-332cm²/578cm²

nie ważne ile... i tak na minusie więc jest to rozwartokątny

d)
cosγ=(a²+b²-c²)/2ab
cosγ=(61²cm²+61²cm²-120²cm²)/2*61cm*61cm
cosγ=-6958cm²/7442cm²
oczywiście rozwartokątny

bez twierdzenia cosinusów zrobienie tego zadania (choć nie jest niemożliwe) jest bardzo trudne... można by obliczyć pole ze wzoru Herona i liczyć długości wysokości ze wzoru na pole.




teraz promień okręgu opisanego... możemy go wyliczyć z dwóch rzeczy, albo ze wzoru R=a/2sinα, ale nie mamy kątów niestety (ponowne użycie twierdzenia cosinusów) albo ze wzoru R=abc/4P
tylko znowuż potrzeba wyłuskać pole.


Pole w dowolnym trójkącie gdzie znamy tylko boki można zapisać wzorem P=√p(p-a)(p-b)(p-c) gdzie p to połowa obwodu... i lecimy:

a)p=(25cm+25cm+14cm)/2=32cm
P=√32cm(32cm-25cm)(32cm-25cm)(32cm-14cm)
P=√28224cm⁴=168cm²


R=(25cm*25cm*14cm)/4*168cm²
R=8750cm³/672cm²≈13cm

b)p=(13cm+13cm+24cm)/2=25cm
P=√25cm(25cm-13cm)(25cm-13cm)(25cm-24cm)
P=√3600cm⁴=60cm²

R=(13cm*13cm*24cm)/4*60cm²
R=4056cm³/240cm²=16,9cm

c)p=(17cm+17cm+30cm)/2=32cm
P=√32cm(32cm-17cm)(32cm-17cm)(32cm-30cm)
P=√14400cm⁴=120cm²

R=(17cm*17cm*30cm)/4*120cm²
R=8670cm³/480cm²
R=18,0625cm

d)p=(61cm+61cm+120cm)/2=121cm
P=√121cm(121cm-61cm)(121cm-61cm)(121cm-120cm)
P=√435600cm⁴=660cm²

R=(61cm*61cm*120cm)/4*660cm²
R=446520cm³/2640cm²≈169,14cm
4 3 4