Daję najlepsze oraz 30 pkt. Proszę o pomoc. Jestem bardzo cienka z matmy.

1. Oblicz wartość wyrażenia:
(2x+3y)*(2x-3y)-(2x-3y)2(do kwadratu)
dla x=pierwaistek z 2
y=pierwiastek z 8.

2. Jeden z prostokątów ma boki długości :
n3(do potęgi 3) -n i n-1
a drugi:
n3(do potęgi 3) i n2(do potęgi 2)- 1
gdzie n jest ustaloną liczba naturalną i n jest większe bądź równe 2. Wykaż że prostokąty te mają równe obwody i oblicz stosunek pól tych prostokątów.
3. Uzasadnij że liczba zapisana w postaci:
8(do potęgi 5)+ 4(do potęgi 8)+6*16(do potęgi 4) jest podzielna przez 5.

3

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-01-04T12:18:42+01:00
1.
Stosujemy wzory skróconego mnożenia:
(a+b)(a-b) = a² - b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(2x+3y)*(2x-3y)-(2x-3y)²= [(2x)²-(3y)²] - [(2x)²-2*2x*3y + (3y)²] =
= 4x² - 9y² - (4x² - 12xy + 9y²) = 4x² - 9y² - 4x² + 12xy - 9y² =
= - 18y² + 12xy
dla x = √2
y = √8
= -18 *(√8)² + 12*√2*√8 = -18*8 +12*√16 = -144+12*4 = -144+48 = - 96

2.
n³-n, n-1
O₁ = 2(n³-n + n-1) = 2n³-2
P₁ = (n³-n)(n-1)
a drugi:
n³, n²-1
O₂ = 2n³ + 2n²-2 = 2n³-2 + 2n²
W zadaniu musi być błąd, bo widać wyraźnie, że obwody różnią się o 2n²
P₂ = n³(n²-1)
P₁ / P₂ = [(n³-n)(n-1)] / [n³(n²-1)] = [n(n²-1)(n-1)] / [n³(n²-1)] =
(n-1) / n²

3. Uzasadnij że liczba zapisana w postaci:
8⁵ + 4⁸ + 6*16⁴ = (2³)⁵ + (2²)⁸ + 6*(2⁴)⁴ = 2¹⁵ + 2¹⁶ + 6*2¹⁶ =
= 2¹⁵(1 + 2 + 6*2) = 2¹⁵ * 15 = 5*3*2¹⁵
Jeżeli przynajmniej jeden z czynników iloczynu jest podzielny przez 5, to cały iloczyn też jest podzielny przez 5.
4 3 4
2010-01-04T12:30:59+01:00
1.
Aby ułatwić sobie pracę i zminimalizować powstanie błędu przy podstawianiu danych, dobrze jest przekształcić wyrażenie do prostszej postaci (korzystam ze znanych wzorów algebraicznych):
(2x+3y)*(2x-3y)-(2x-3y)² = (2x)² - (3y)² - [(2x)² - 2*2x*3y + (3y)²]=
(2x)² - (3y)² - (2x)² + 12xy - (3y)² =
-2*(3y)² + 12xy = -18y² + 12xy
I eraz dopiero podstawiamy:
-18 * (√8)² + 12 * √2 * √8 = -18 * 8 + 12 * √16 = -144 + 12 * 4 = -96

2.
Obwód prostokąta o bokach a, b:
D=2*(a+b)
U nas:
D₁ = 2*(n³ - n + n -1)= 2*(n³-1)
D₂ = 2*(n³ + n² - 1)
D₁ = D₂
2*(n³-1)=2*(n³ + n² - 1)
n³-1=n³ + n² - 1
n²=0
n=0 - sprzeczność z założeniami lub błędne dane w zadaniu.
Stosunek pól:
(n³ - n)*(n - 1) : [n³(n² - 1)] = (n-1)²(n²+n+1):[n³(n-1)(n+1)]=
(n-1)(n²+n+1):[n³(n+1)]

3.
8⁵+4⁸+6*16⁴=
(2³)⁵+(2²)⁸+3*2*(2⁴)⁴=
2¹⁵+2*2¹⁵+3*4*2¹⁵=
2¹⁵(1+2+12)=
15*2¹⁵
Ponieważ 15 jest podzielne przez 5, to także 15*2¹⁵ jest podzielne przez 5, bo
po rozwinięciu na czynniki pierwsze:
15*2¹⁵=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*5
1 4 1
  • Roma
  • Community Manager
2010-01-04T13:08:49+01:00
Ad 1.
Ze wzorów skróconego mnożenia:
(2x + 3y)*(2x-3y) = (2x)² - (3y)² = 4x² - 9y²
(2x - 3y)² = 4x² - 2*2x*3y + 9y² = 4x² - 12xy + 9y²
czyli
(2x+3y)*(2x-3y)-(2x-3y)² = 4x² - 9y² - 4x² + 12xy - 9y² = 12xy - 18y²
dla x = √2 i y = √8 mamy:
12xy - 18y² = 12*√2*√8 - 18*(√8)² = 12√16 - 18*8 = 12*4 - 144 = 48 - 144 = -96

Ad 2.
Pierwszy prostokąt o bokach a₁ i b₁
a₁ = n³ - n
b₁ = n - 1
Drugi prostokąt o bokach a₂ i b₂
a₂ = n³
b₂ = n² - 1
n ∈ N; n ≥ 2
Obw.(1) = 2a₁ + 2a₁ = 2*(n³ - n) + 2*(n - 1) = 2n³ - 2n + 2n - 2 = 2n³ - 2
Obw.(2) = 2a₂ + 2b₂ = 2*n³ + 2*(n² - 1) = 2n³ + 2n² - 2
Przy tak podanych bokach prostokąty nie mają równych obwodów - widocznie źle podałaś wymiary boków
P₁ = a₁*b₁
P₁ = (n³ - n) * (n - 1) = n⁴ - n³ - n² - n
P₂ = a₂*b₂
P₂ = n³ * (n² - 1) = n⁵ - n³
P₂ : P₁ = (n⁵ - n³) : (n⁴ - n³ - n² - n)

Ad 3.
8(do potęgi 5)+ 4(do potęgi 8)+6*16(do potęgi 4) jest podzielna przez 5.
8⁵ + 4⁸ + 6*16⁴ = (2³)⁵ + (2²)⁸ + 6*(2⁴)⁴ = 2¹⁵ + 2¹⁶ + 6*2¹⁶ = 2¹⁵ *(1 + 2 + 6*2) = 2¹⁵ * (1 + 2 + 12) = 2¹⁵ * 15 = 2¹⁵ * 3 * 5
(2¹⁵* 3 * 5) : 5 = 2¹⁵* 3 czyli wykazano, że wyrażenie8⁵ + 4⁸ + 6*16⁴ jest podzielne przez 5
1 3 1