Odpowiedzi

2010-01-04T15:38:51+01:00
W równoległoboku ABCD dwusieczna DE i prosta BC wyznaczają dwa kąty przyległe których miary pozostają w stosunku 2:3 Oblic
Założenia do rysunku i oznaczenia:
AB < CD, wtedy BE+EC=BC (E∈BC), ∢BAD≤∢ADC
a=∢BED
b=∢DEC
c=∢ADE=∢EDC (dwusieczna DE)
d=∢BAD
b:a=2:3

Ponieważ mówimy o równoległoboku, to AB=CD i AD=BC, ∢BAD=∢BCD, ∢ADC=∢ABC, ∢BAD+∢ADC=180°
Mamy układ równań:
a+b=180° (suma kątów przyległych)
b+c+d=180° (suma kątów w trójkącie)
a+c+d+2c=360° (suma kątów w czworokącie - tu: w trapezie)
b:a=2:3

Z czwartego wyliczamy a=3b/2 i wstawiamy do pierwszego:
3b/2 + b = 180°
5b/2 = 180°
b = 2/5 * 180° = 72°
a = 180°-b=108°
Z drugiego:
d = 180°-72°-c=108°-c
i podstawiamy do trzeciego:
108°+c+108°-c+2c=360°
2c=144°
c=72°
d=108°-c=36°
∢ADC=2c=144°

Odp. 36°, 144°
Uwaga: zamiast trzeciego równania można napisać wzór na sumę kątów leżących przy jednym boku równoległoboku:
d+2c=180° lub
a+c=180° (kąty w trapezie) - skąd od razu c=180°-108°=72°
44 1 44