Sprawdź własność dla kwadratu i trójkąta równobocznego. (Wyobraź sobie pierścień utworzony przez okrąg opisany na wielokącie foremnym i okrąg wpisany w ten wielokąt. Jeśli wielokąt ma bok długości a, to pole pierścienia równe (Pi)/4 * a(do kwadratu), niezależnie od tego, ile boków ma wielokąt). Podręcznik: Matematyka 3 Matematyka z plusem zad. 7 str. 110

1

Odpowiedzi

2010-01-06T00:51:35+01:00
Dla trójkąta:
P=πR²-πr², gdzie R=promień koła zewnętrznego, r=promień koła wewn.
P=π(R²-r²)
R=⅔h=⅔a√3/2
r=⅓h=⅓a√3/2

Podstawiamy:
P=π(4/9 a² *3/4-1/9 a² *3/4)=π/4 a²

Dla kwadratu:
P=πR²-πr², gdzie R=promień koła zewnętrznego, r=promień koła wewn.
P=π(R²-r²)
R=½√2a
r=½a
Podstawiamy:
P=π/4(2 a²-a²)=π/4 a²

Zgadza się to dla trójkąta równobocznego i kwadratu.

Dla następnych wielokątów foremnych też się będzie zgadzało, bo promień zewnętrzny i wewnętrzny zawierają się w połowie trójkąta składowego (równoramiennego) n-kąta, więc wiąże je zależność z Pitragorasa:
R²=r²+a²/4, skąd R²-r²=a²/4 i dalej π(R²-r²)=πa²/4, co jest szukanym polem pierścienia.
18 4 18